利用方向自適應投影統一運營鐵路坐標系

龐遠超

(中鐵二院工程集團有限責任公司， 成都 610031)

TB 10601-2009《高速鐵路工程測量規范》中明確要求控制網設計時邊長投影變形值不大于10 mm/km[1]，為滿足此規定，國內各鐵路設計院通常把1條幾百公里的高速鐵路劃分為多個幾十公里的工程投影獨立坐標系，因此在鐵路設計、施工、運營維護階段不可避免地需要進行頻繁的換帶計算[2]。鐵路選線設計會在投影帶重疊區域選擇直線段來進行搭接，由于該直線段處于前后兩個不同的投影帶中，按照不同投影帶線路交點坐標等參數推算會得到兩條不同的線路設計中線，即兩條設計中線存在橫向偏差[3-4]。

換帶搭接段橫向偏差如圖1所示，前投影帶依據交點P1、P2和線路設計參數計算得到P3的實際位置P′3；后投影帶依據交點P3、P4和線路設計參數計算得到P2的實際位置P′2；在軌道精調[5]時會發現線路搭接段上的搭接點(D0)按前后投影帶交點坐標和線路設計參數分別計算得到的位置為D1和D2，若處理不當，將降低軌道的平順性，給高速鐵路運營安全帶來隱患。

圖1 換帶搭接段橫向偏差圖

對于搭接段橫向偏差的處理及研究，李陽騰龍[6]提出了顧及重疊區和非重疊區的高速鐵路分段測量數據平順性連接方法,楊雪峰、劉成龍[7]等研究了不同測站數據之間的搭接精度指標,他們針對搭接數據的方法處理及精度指標提出有效的約束，一定程度上降低了搭接段的橫向偏差，但由于兩個不同的投影帶坐標系，投影變形始終是不一致的，沒有從根本上消除橫向誤差。為徹底消除換帶搭接重疊段橫向偏差、，本文提出將運營鐵路多個投影帶坐標系統一到1個坐標系的思路[8-9]，1條運營鐵路只有1個坐標系之后，就不會存在搭接段，更不會出現設計中線存在橫向偏差的問題，但坐標系統一后與傳統高斯分帶投影的線路設計參數存在不一致，是否對軌道的平順性造成影響，一直沒有深入的探究。本文采用方向自適應投影統一運營鐵路坐標系，同時采用嚴密的數學模型將高斯分帶投影下運營鐵路的平、縱斷面線路參數轉換到方向自適應投影坐標系，并將坐標系統一后的線路中線與高斯分帶投影的線路中線進行平順性對比，進一步分析采用方向自適應投影后的線路中線為設計中線對軌道精調造成的影響。

1 求解方向自適應投影下的交點坐標

方向自適應投影的具體過程如下[10]：

(1)通過嚴密三維平差得到控制點的大地坐標(B,L,H)，進行坐標轉換獲取原坐標系橢球下的空間直角坐標(X,Y,Z)。

(2)通過旋轉矩陣進行坐標軸方向旋轉，獲取方向自適應橢球下的(X1,Y1,Z1)。

(3)通過大地坐標轉換獲得方向自適應橢球下的大地坐標(B1,L1,H1)。

(4)通過投影變形計算，選擇合適的中央子午線及投影面高程，進行方向自適應橢球下的工程獨立坐標的高斯投影計算。具體步驟如圖2所示。

圖2 方向自適應投影的主要步驟圖

通過以上步驟將原設計(多個投影帶獨立坐標)的線路設計交點坐標進行方向自適應投影變換，獲得新的橢球下的大地坐標，最后通過高斯投影，選擇合適的投影面(以下稱“自適應投影面”)，獲取新橢球下的工程獨立坐標(以下稱“自適應橢球坐標系”)。

2 求解方向自適應投影面上的平面和縱斷面線路參數

線路交點坐標投影變換后，線路設計參數會相應地變化，需建立嚴密的數學模型來計算自適應投影面上的線路平面和縱斷面參數[11]。

2.1 自適應投影面上的線路平面參數

自適應投影面上的曲線半徑R′和緩和曲線長l′主要受投影面高程差異的影響。投影面高程差異對半徑和緩和曲線的改正圖如圖3所示。其關系可表示為：

圖3 投影面高程差異對半徑和緩和曲線的改正圖

(1)

式中：S′——自適應投影面上的基線長度；

S0——原分帶投影面上的基線長度[12]；

R——地球半徑；

H′和H0——自適應投影面的大地高和分帶投影面的大地高。

通過式(1)計算出自適應投影面上的曲線半徑R′和緩和曲線長l′。依據轉換的交點坐標及計算得到的半徑和緩和曲線長，計算出自適應投影面上的線路平面參數(包括偏角、曲線長、切線長、以及夾直線長等)，進而推算出各交點及對應各個主點的里程。

2.2 自適應投影面上的線路縱斷面參數

縱斷面線路參數主要受相鄰變坡點之間的高差和里程影響，相鄰變坡點之間的高差應嚴格加入地球曲率對高差的改正[13]。原設計坡度表中變坡點的里程是分帶投影平面里程(或稱運營里程DK)，為了能和自適應投影面上的平面里程(K)對應，需建立分帶投影面里程轉換到自適應投影面里程的精確數學模型[14]。自適應投影面上主點的里程是依據投影后的曲線半徑和緩和曲線長推算的，各個主點的自適應投影里程和運營里程是一一對應的，可采用以下方法計算變坡點的自適應投影里程。

變坡點里程轉換如圖4所示，首先根據變坡點BP的運營里程判定該變坡點處于ZD1和ZD2之間，并計算出該變坡點到最近點ZD1的里程差L1。

圖4 變坡點里程轉換圖

L1=DKBP-DKZD1

(2)

然后計算主點間的里程變形比例因子k0。

(3)

接著計算變坡點在投影面上到最近主點(ZD1)的方向自適應投影里程差L1′。

L1′=k0×L1

(4)

最后可得變坡點的投影里程KBP。

KBP=KZD1+L′1

(5)

3 分析方向自適應投影下設計線路的平順性

依據文獻[15]可得線路平順性指標為：

(6)

式中P、p分別為依據線路中線點坐標計算出投影變換前、后線路中線對應里程的矢高，計算公式為：

(7)

其中，(x1,y1)、(x3,y3)為弦線起點和終點坐標，(x2,y2)為檢測點的坐標，坐標可用參數方程計算。為分析線路參數變化對線路平順性的影響，設f=pi-pi+8，用線路參數方程帶入式(7)并得出f關于半徑和緩和曲線長的方程，以圓曲線段30 m弦檢測方法為例，得到如下方程：

(8)

則：

(9)

根據復合函數求導公式，對半徑R求導，獲得f對變量R的微分：

(10)

依據文獻[15]結論可知，半徑變化1 m對線路30 m軌向和300 m軌向的影響隨著設計半徑的增大，影響越來越小，且都遠小于相關規范對軌向限差要求。考慮到方向自適應投影后的半徑變化遠小于1 m，可認為自適應投影面上圓曲線段的半徑變化對線路平順性無影響。同理可以得出，自適應投影面上緩和曲線段半徑和緩和曲線長變化對線路平順性的影響遠小于限差的結論，由于篇幅所限，在此不做繼續推導。

4 實例分析

以國內某運營鐵路項目線路設計參數為例，該線路由于縱斷面坡度的設計要求共分為4個投影帶，具體坐標系信息如表1所示。

表1 國內某運營鐵路工程高斯獨立坐標系統表

換帶處搭接段橫向偏差如圖5～圖7所示。依據文獻[13]中橫向偏差的計算方法，得到該鐵路3個不同坐標系搭接段約500 m設計中線的橫向偏差。

從圖5～圖7可以看出，3個換帶搭接處線路設計中線之間存在橫向偏差范圍，且第三個搭接段的橫向誤差已經達到了±(6～8)mm。論文采用方向自適應投影將4個投影帶的設計參數轉換到新的自適應投影面，得到統一坐標系后的平面和縱斷面線路參數，如表2、表3所示。

圖5 第一個換帶處搭接段橫向偏差圖

圖6 第二個換帶處搭接段橫向偏差圖

圖7 第三個換帶處搭接段橫向偏差圖

表2 統一坐標系后的平面線路參數與原始設計參數的較差(部分)表

由表2可知，為保證轉換后的線路參數與原設計參數的一致性，統一坐標系后的平面線路參數與原始設計的線路參數存在較小的較差。

由表3可知，坐標系統一后變坡點方向自適應投影里程和轉換前的連續里程存在較小的偏差，根據表中的數據和設計高程計算出轉換后的坡度，發現轉換后的坡度變化較小(小于1/100萬)，可忽略不計；根據文獻[11]軌面里程的定義可知，對于同一條線路從不同投影面推算的變坡點軌面里程應該是相同的，均是線路沿著軌道平面的實際里程，但從表3可知轉換前后變坡點軌面里程會不同，這恰好說明方向自適應投影后的線路與原始設計線路并不是完全等價的，而是存在變形的，需分析轉換后的線路在水平面和豎直面上的平順性變化[16]；相鄰變坡點之間的坡度變化可忽略，投影后直線段線路平順性也不會改變，因此只需分析線路在投影水平面曲線段的平順性變化，采用文獻[10]中利用矢高計算軌向的方法，根據線路參數分別計算出線路中線點坐標，依據線路中線點坐標計算出坐標系統一前后線路對應里程的矢高P、p，然后依據式(6)計算平順性指標，依據前文的公式和計算結果認為圓曲線半徑和緩和曲線長變化不會影響線路的平順性，偏角變化是影響線路平順性的主要因素，如圖8～圖10所示，線路中偏角變化最大的交點(P13)對應曲線段坐標系統一前、后線路的10 m、30 m、300 m軌向，具體計算過程見文獻[11]。

表3 坐標系統一前后變坡點里程表

圖8 坐標系統一后線路10 m軌向圖

圖9 坐標系統一后線路30 m軌向圖

圖10 坐標系統一后線路300 m軌向圖

從圖8～圖10中可以看出，坐標系統一后線路10 m軌向最大不超過0.2 mm，遠小于限差2 mm；30 m軌向最大不超過0.3 mm，遠小于限差2 mm；300 m軌向最大不超過0.4 mm，遠小于限差10 mm，可見方向自適應投影后不會影響對應曲線段線路的平順性。不同投影帶投影后的線路平順性變化如表4所示，表中給出了平順性變化的最大值和變化較大值(10 m、30 m、300 m軌向分別大于0.1 mm、0.2 mm、0.3 mm)所占的比例。

由表4可知，該線路各個投影帶轉化后，10 m軌向均不大于0.2 mm且大部分都小于0.1 mm，30 m軌向均不大于0.3 mm且大部分都小于0.2 mm，300 m軌向均不大于0.4 mm且大部分都小于0.3 mm。可以認為對于整條線路采用方向自適應投影實現坐標系統一的方法是不會影響線路的平順性的。

表4 線路參數變化及其對線路平順性影響表

通過上述實例的分析和研究可知：由于橢球及投影面不同，坐標系統一后的線路參數與原始設計參數存在較小的較差，造成新的線路與原始設計線路存在較小的橫向偏差，但對軌道平順性造成的影響可忽略不計。

5 結論

高斯分帶投影造成相鄰投影帶推算的線路搭接段設計中線存在橫向偏差，軌道精調時會發現不同投影帶坐標推算的線路中線不重合，給軌道精調和運營維護技術水平的提升帶來障礙。本文提出了利用方向自適應投影實現運營鐵路坐標系統一的方法，并通過工程實例分析得出以下結論：

(1)方向自適應投影下計算得到的線路參數與原始設計參數存在較小的偏差，但不會對軌道的平順性造成影響，該方法是有效可行的。

(2)利用方向自適應投影統一坐標系后線路只有1個投影帶，不存在換帶搭接段，消除了換帶搭接段線路設計中線存在橫向偏差，在進行軌道檢測時，使用1套設計文件就能進行整條線路的軌道檢測，避免在換帶區域更換設計文件，也避免進行多次數據換帶轉換，有效地提高了檢測效率，具有較高的工程實用性。

(3)研究成果可為提升運營鐵路的軌道精調效率提供借鑒。