線性Boussinesq方程的色散量子化現象

張苗苗, 李茂華

線性Boussinesq方程的色散量子化現象

張苗苗, 李茂華*

（寧波大學 數學與統計學院, 浙江 寧波 315211）

為研究線性Boussinesq方程的周期初邊值問題解在大波數條件下的漸近行為, 通過將方程解表示成Fourier級數形式, 利用Matlab軟件進行數值模擬. 結果表明: 方程色散關系的漸近行為對方程解在大波數條件下的漸近行為起決定性作用, 線性Boussinesq方程存在色散量子化現象.

線性Boussinesq方程; 周期初邊值問題; 色散關系; 漸近行為; 色散量子化

20世紀90年代, Berry[1]在研究周期域上線性Schr?dinger方程時發現其解有明顯的動力學行為, 進一步研究得到: 初值條件為階梯函數的解在有理時刻為分段函數; 在無理時刻呈現類分形連續不可微狀態. Talbot[2]發現這一現象在光學實驗中也存在. 因此, Berry稱這一現象為Talbot效應. 緊接著Berry等[3-4]發現這種現象也存在光學和量子力學中. 隨后Kapitanski等[5]、Oskolkov[6-7]以及Taylor[8]對Talbot效應進行了分析. 2010年, Olver[9]研究了線性KdV方程在周期域上的初值條件為階梯函數時, 發現其初邊值問題的解滿足Talbot效應, 進而將結論推廣到色散關系為整數多項式的線性色散方程中. Chen等[10]對初值條件為階梯函數, 且具有一般色散關系的線性和非線性色散方程進行了數值模擬, 從數值結果中得到對于線性色散方程, 色散關系的大波數漸近行為對周期域上的非光滑解的演化有決定性作用. 2021年, 尹子涵等[11]對二維線性KdV方程和Schr?dinger方程的周期初邊值問題進行了研究, 得出此類方程的解存在色散量子化現象. 但對線性Boussinesq方程的研究鮮見報道.

本文基于文獻[10-11], 研究線性Boussinesq方程周期初邊值問題解在大波數條件下的漸近行為. 首先研究色散關系為整數多項式和非整數多項式的一維線性Boussinesq方程的周期初邊值問題; 然后研究二維線性Boussinesq方程的周期初邊值問題. 給出存在色散量子化現象的線性Boussinesq方程的色散關系形式, 并研究在不同情況下方程周期解在大波數條件下的漸近行為.

1 一維線性Boussinesq方程

考慮定義在區間[0,2π]的Boussinesq方程的周期初邊值問題:

方程的色散關系為:

將方程解展開成Fourier級數形式:

式中:為奇數.

進一步研究色散關系為:

的Boussinesq方程的周期初邊值問題.

考慮定義在區間[0,2π]的Boussinesq方程的周期初邊值問題:

方程的色散關系為式(5).

將式(3)代入式(6), 得到方程:

求出色散關系式(5).

時, 方程周期解的Fourier級數為:

式中:為奇數.

色散關系為:

時, 方程周期解的Fourier級數為:

式中:為奇數.

用Matlab軟件畫出色散關系為式(5)時方程解Fourier級數的實部和虛部前1000項和. 圖3和圖4是色散關系為式(7)時的結果; 圖5和圖6是色散關系為式(9)時的結果. 數值結果表明:在有理時刻方程解近似于分段常數函數; 在無理時刻呈現分形化現象.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

由于

從而在大波數條件下, 色散關系為式(5)方程解可以近似于色散關系為式(2)的方程解. 表明一維線性Boussinesq方程的周期解在大波數條件下的漸近行為由色散關系的漸近行為所控制. 這個結論可以推廣至二維線性色散方程的周期初邊值問題.

2 二維線性Boussinesq方程

方程的色散關系為:

因為

將方程解展開成二維Fourier級數形式:

將式(13)代入式(11)中, 得到方程:

求解式(14), 得到色散關系式(12).根據階梯函數得到色散關系為:

時, 方程解的Fourier級數為:

式中:1和2為奇數.

色散關系為:

時, 方程解的Fourier級數為:

式中:1和2為奇數.

用Matlab軟件畫出色散關系為式(14)的方程周期解Fourier級數的實部和虛部前100×100項和. 圖7和圖8為色散關系為式(15)時的結果; 圖9和圖10為色散關系為式(16)時的結果. 數值結果表明: 在有理時刻方程解為分片段常數形式; 在無理時刻方程解呈現分形化現象. 說明色散關系為式(12)的二維線性Boussinesq方程存在色散量子化現象.

圖7

圖8

圖9

圖10

如果式(18)的色散關系為整數多項式, 則方程的周期初邊值問題存在色散量子化現象.

方程的色散關系為:

將式(13)代入式(18)中, 得到方程:

求出色散關系式(19).

時, 方程解的Fourier級數為:

式中:1和2為奇數.

色散關系為:

時,方程解的Fourier級數為:

式中:1和2為奇數.

用Matlab軟件畫出色散關系為式(19)的方程周期解Fourier級數實部和虛部的前100×100項和. 圖11和圖12是當色散關系為式(20)時的數值結果; 圖13和圖14是當色散關系為式(21)時的數值結果. 數值結果表明:方程解在有理時刻近似為分片段常數函數; 在無理時刻呈現分形化現象. 這與一維的情況相同.

類似地, 因為

所以

從而在大波數條件下, 色散關系為式(19)的方程解可以近似于色散關系為:

的方程解. 得到二維線性Boussinesq方程的周期解在大波數條件下的漸近行為由色散關系的漸近行為所控制. 這一結論可以推廣至二維線性色散方程的周期初邊值問題.

圖11

圖12

圖13

圖14

3 結語

本文研究了線性Boussinesq方程的周期初邊值問題解在大波數條件下的漸近行為, 首先計算出初值條件為階梯函數的線性Boussinesq方程解的Fourier級數; 然后用Matlab軟件對不同色散關系的線性Boussinesq方程進行數值模擬. 當色散關系滿足整數多項式時, 方程周期解存在色散量子化現象; 當色散關系不滿足整數多項式時, 方程周期解在大波數條件下的漸近行為存在色散量子化現象. 從而可知: 線性Boussinesq方程在大波數條件下的漸近行為受色散關系在大波數條件下的漸近行為控制.

[1] Berry M V. Quantum fractals in boxes[J]. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1996, 29(20): 6617-6629.

[2] Talbot H F. Facts relating to optical science. No. IV[J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1836, 9(56):401-407.

[3] Berry M V, Marzoli I, Schleich W. Quantum carpets, carpets of light[J]. Physics World, 2001, 14(6):39-46.

[4] Berry M V, Klein S. Integer, fractional and fractal Talbot effects[J]. Journal of Modern Optics, 1996, 43(10):2139- 2164.

[5] Kapitanski L, Rodnianski I. Does a quantum particle know the time?[M]//Emerging Applications of Number Theory. New York: Springer, 1999:355-371.

[6] Oskolkov K. Schr?dinger equation and oscillatory Hilbert transforms of second degree[J]. The Journal of Fourier Analysis and Applications, 1998, 4(3):341-356.

[7] Oskolkov K. A class of I. M. Vinogradov’s series and its applications in harmonic analysis[M]//Progress in Approximation Theory. New York: Springer, 1992:353-402.

[8] Taylor M. The Schr?dinger equation on spheres[J]. Pacific Journal of Mathematics, 2003, 209(1):145-155.

[9] Olver P J. Dispersive quantization[J]. The American Mathematical Monthly, 2010, 117(7):599-610.

[10] Chen G, Olver P J. Dispersion of discontinuous periodic waves[J]. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2013, 469(2149):20120407.

[11] 尹子涵, 康靜. 二維線性色散方程的色散量子化現象[J]. 應用數學和力學, 2021, 42(7):741-750.

Dispersion quantization of linear Boussinesq equation

ZHANG Miaomiao, LI Maohua*

( School of Mathematics and Statistics, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

In this paper, we study the asymptotic behavior of solutions to periodic initial boundary value problem for linear Bousssinesq equation with large wave numbers. By expressing the solution of the equation in Fourier series, Matlab is used for numerical simulation. The simulation results show that the asymptotic behavior of the dispersion relation plays a decisive role in the asymptotic behavior of the solution of the equation on the condition of large wave numbers, which indicates that the dispersion quantization phenomenon exists in the linear Bousenisq equation.

linear Bousssinesq equation; periodic initial boundary value problem; dispersion relation; asymptotic behavior; quantization of dispersion

O29

A

1001-5132（2022）02-0027-08

2021?10?14.

寧波大學學報（理工版）網址: http://journallg.nbu.edu.cn/

國家自然科學基金（12111530003）; 寧波市自然科學基金（2018A610197）.

張苗苗（1995－）, 女, 甘肅天水人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 可積系統. E-mail: 3294140387@qq.com

李茂華（1973－）, 男, 浙江寧波人, 副教授, 主要研究方向: 可積系統. E-mail: limaohua@nbu.edu.cn

（責任編輯 史小麗）