以問題驅動數學思考

【摘 要】在數學課堂上如何以問題驅動學生進行數學思考，以“網格中的特殊三角形”為例，需要教師設定教學的主題，根據主題設計問題串，引導學生進行學習研究，培養學生合理猜想及計算驗證的能力，讓學生沉浸、深入、徹底地思考，促進學習的真實發生。

【關鍵詞】問題驅動;數學思考;網格

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2022）03-0040-04

【作者簡介】張鋒，江蘇省無錫市雪浪中學（江蘇無錫，214125）黨支部書記、校長，高級教師，江蘇省特級教師。

問題是數學的“心臟”，有價值的問題促使學生積極思考。數學教學要以問題驅動數學思考，讓學生學會“想”，學會“問”，在知識探究中產生自己的體驗、理解和思考，從而促進有效建構知識、發展能力、積淀經驗、感悟思想，提升學生的數學核心素養。數學課上教師如何引導學生“既見樹木，又見森林”？本文以筆者在2020年11月江蘇省中小學教學研究網絡教研平臺“教學新時空·名師課堂”（初中數學）活動中執教“網格中的特殊三角形”一課的教學設計為例，談談如何在數學課堂上以問題驅動數學思考。

一、課前思考

網格類試題是近幾年比較熱門的一類新題型，其立意新穎、綜合性強，又有較強的可操作性，考查學生幾何直觀、識圖、猜想、計算、推理等能力，是“數”與“形”結合的最好載體，充分體現了對數形結合思想、幾何直觀、轉化與分類思想的運用。

本節課的授課時間是在11月下旬，期中考試剛結束，授課對象是九年級學生。學生剛學過相似三角形，已經掌握了相似三角形的知識體系。因此，筆者進行教學設計時想借助網格，讓學生通過實踐操作感悟幾何直觀、計算和邏輯推理等數學素養。本節課的備課素材主要是教材和試卷中的題目，在備課過程中，筆者主要思考以下幾個問題。

思考1：網格中構圖如何體現圖形性質？

利用作圖問題考查圖形的性質是一種常見的命題方式，尤其是在網格中，利用無刻度直尺作圖是比較典型的問題。網格中單位長度固定、圖形位置關系相對的性質，使得網格問題具有確定性，我們可以借助網格并結合題目所給條件，運用幾何性質對題目進行分析解答。

網格類問題幾乎都可通過幾何直觀解決，當然這樣的前提是作答者對已有圖形的性質非常清楚。無論是思路的分析、還是問題的解決，一般都會用到基本圖形，如全等或相似三角形、勾股定理、等腰三角形、特殊平行四邊形、圓等圖形基本的性質。

思考2：網格中構圖的特點和關鍵是什么？

網格構圖的基本特點是等距平行線、特殊作用的格點較多（等分點），較易構造平行線（垂線），易求線段的長度（利用勾股定理或三角形相似），可構造一些特殊的圖形（直角三角形、相似三角形、平行四邊形等）。當然，在網格中構圖時，還應關注所構圖形本身的特點：是否容易找出線段的特殊分割點（按比例分割線段）;是否較方便用勾股定理計算;是否易計算圖形的面積（割補、等積變形等）;是否易于畫或求某些特定條件下的角度（如45°等）;是否方便實施圖形的平移、軸對稱、旋轉、位似等變換;是否易于構造某些幾何模型。

網格中作圖的關鍵是確定“點”。在網格中要確定一個點，必須知道兩條直線的位置關系，借助全等、相似、兩線相對位置和圖形基本性質，利用網格畫平行線、垂線，構造相似或全等圖形，得到相應的“交點”。

思考3：本節課的學習目標是什么？

通過在網格中作平行線、垂線等基本圖形，感悟圖形變換，掌握基本圖形的構圖能力;會用勾股定理計算格點線段長、圖形面積，生成自覺觀察網格本身“數”與“形”的特征的意識;經歷實驗、探究的過程，學會構造基本幾何模型，積累數學活動經驗，進一步發展直觀想象、數學抽象、邏輯推理、數學計算等能力，滲透數形結合、分類等數學思想方法。

二、教學過程

1.回憶。

如圖1，是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段AB的兩個端點都在格點上（每個小正方形邊長為1）。根據你所學的知識，嘗試編一道題并請同桌解答。

注：本節所用畫圖工具，僅限無刻度直尺。

通過討論，學生給出以下題目：

（1）畫出線段AB的中點C;

（2）在線段AB上畫出點C，使得AC︰BC=3︰2;

（3）找一格點P，使得△ABP是等腰三角;

（4）若用一個最小的圓去覆蓋△ABP，請畫出該圓的圓心;

（5）找一格點Q，使得△ABQ的面積為3;

…………

學生對于給出6×6的網格中長為[10]的線段AB比較熟悉，編題的方式多樣，可以從“數”或“形”的角度思考，如找某些滿足特殊條件的點，也可畫特殊的三角形、四邊形、圓等;所設問題的答案可以直接看圖得到，也可以通過計算得到;可以從靜態或動態的角度去設置不同的問題;等等。

讓學生自己編題并設問，設計以作圖為目標的探究活動和學習任務，開展以問題解決為主題的單元學習，除了能夠提高學生的作圖技能之外，更能發展學生的幾何直觀和推理能力，達到深度學習的目的。

2.畫圖。

如圖2，是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上（每個小正方形邊長為1）。畫一個與△ABC相似，頂點在格點，且面積最大的三角形。

本題是對上一練習的延伸，本題解答的關鍵是對所給網格特征進行分析，明確最長邊為網格正方形的對角線，由此便可成倍放大，輕松畫出題目要求的三角形。教師在本環節中應引導學生明確本題的答案不止一個，從分類的思想和對稱的角度審題，通過“直觀判斷—推理演算—實踐操作”的過程，引發學生的深入思考，全班一起努力找出所有符合條件的三角形。這無疑對培養學生的邏輯推理、數學運算、分類思想等能力是極好的機會，對發展學生學科核心素養具有很強的現實意義。

3.識圖。

如圖3，是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上（每個小正方形邊長為1）。試在AC上找一點D，使得點D、A、B組成的三角形與△ABC相似。

本環節教師可以安排學生自主思考，進行小組合作研究。由結論“△DAB與△ABC相似”出發， 逆向推理點D應滿足的條件，明確求出AD或CD的長度即可，最終發現點D是特殊的格點，△ADB和△BCD都是特殊的三角形（三邊之比為1∶[2]∶[5]）。

本例中的△ABC就是上例中面積最大的三角形，只是把它放置在6×6的網格背景中。借助相似三角形的基本性質推得點D，這種通過計算來推理的方法在網格類試題中比較常見。

教師追問：解決了上述問題后，同學們可以得到∠A+∠C的度數嗎？請同學思考這一問題，并證明你的猜想。

在解決上述問題后，本題的答案顯而易見，但若一開始就讓學生求∠A+∠C的度數，則難度較大，且學生通常會進行猜測，無法給出證明思路。此環節的問題以“格點”引發學生思考，將學習內容逐漸深化，用到勾股定理、相似三角形等常規知識，借助格點圖形尋找不同的解題方法，讓學生從“數”和“形”的不同角度認識圖形。

4.操作。

如圖4，是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點都在格點上（每個小正方形邊長為1）。請只用無刻度直尺，畫出∠A的平分線AD。

生1：我猜連接點A與右上方2×1矩形的對角格點D（如圖5）就是∠A的平分線，但我不清楚如何說明這條線就是∠A的平分線。

生2：我想利用角平分線的判定定理，將題目轉化為求點D到∠A兩邊AB、AC的距離（如下頁圖6），點D到AB的距離DG易求，但在求格點D到AC的距離DH時，我又陷入了困境！

師：同學們的思路非常好！但因為大家僅停留在網格的幾何特征上，沒有意識到網格還具有“數”的功能。在生2的基礎上，是否可以轉化為求△ACD的面積，再求底邊AC邊上的高？即可得到點D到AC的距離。除了上述方法，同學們能不能通過數形結合的思想，給出不同的解題思路？

學生展開討論。

師：事實上，△ABC的三邊易求，聯想前面的特殊三角形（三邊之比為1∶[2]∶[5]），結合網格中“數”的特征，自然想到將其放入△ABE、△ACE中（如圖7，只需找到格點E），進而證明它們相似，再利用相似三角形的性質得出兩個角∠BAE、∠EAC對應相等，得出AE平分∠BAC的結論。其實本題中的BC是一條干擾線段。

本環節依托格點圖形的特點，探尋不同的解題方法，讓學生全面了解網格題目中可能遇到的問題，歸納解決格點問題的解題思路與方法，明白解題前應先制定解題策略，可以采取“先猜后證”的解題策略，體會網格中“特殊三角形”的特征及作用，也讓學生認識到一些基本圖形重新“組合”后又會產生新的結論。

6.小結。

幫助學生一起梳理本節課的主題，并形成思維導圖（限于版面，圖略）。

三、教學反思

1.基于核心素養設計教學問題。

本節課以網格為載體，重點研究格點與三角形的相關內容，涉及勾股定理、全等、相似、三角函數、平行四邊形、圓等知識。基于解決問題的目標，培養學生的幾何直觀能力，發展學生的運算推理能力;讓學生在解題過程中感悟數形結合的思想，培養學生用數學眼光觀察圖形、用數學語言準確表達、用數學思維解決問題的學科素養。在整個學習過程中，教師不僅關注學生對知識技能的掌握程度，而且關注學生的能力、素養、情感等，避免了知識的碎片化，把引領學生成長的各方面因素聯系起來。

2.以問題驅動發展學生的深度思維。

在以往的學習中，學生對于在網格中用“無刻度直尺”畫圖的問題，常覺得無計可施。本課結合試題素材，通過讓學生自己編題引入，將常見格點問題進行題組變式，讓學生帶著問題主動地思考、探究、合作、交流，為后面的解題及操作做準備，激發學生探究的興趣。設計追問意在鞏固探究作圖方法、依據，體現數學方法的靈活性和多樣性。

3.注重知識的“生長點”與“結合點”。

本節課的設計基于培養學生的幾何直觀和運算推理兩大核心素養，以網格中的特殊三角形作為知識的“生長點”，融合初中階段所學圖形的基本內容，串聯起多個知識的“結合點”，注重知識的結構和體系。為此，在平時教學中，教師應關注不同學段數學課程對幾何直觀和運算推理能力的要求，要根據學生學情設計活動，確保在原有知識基礎上生成新的知識。

【參考文獻】

[1]劉曉玫.深度學習：走向核心素養（學科教學指南·初中數學）[M]. 北京：教育科學出版社，2019.

[2]朱德江.重塑學習：小學數學“深度學習”課堂樣態新探八講[M].上海：華東師范大學出版社，2021.

*本文系江蘇省無錫市教育科學研究“十三五”規劃2020年度課題“指向數學關鍵能力的核心內容教學研究”（F/D/2020/11）的研究成果。

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