基于GVF力的拓撲保持分割模型及其對偶算法

沈夢潔 潘振寬 宋金濤 魏偉波

摘要：針對自排斥Snake模型對于狹窄圖像區域作用力不足，傳統加性算子分裂方法計算復雜，內存用量也會隨著圖像大小的增加而迅速增長等問題，提出了在原模型的基礎上增加梯度矢量流有向力場，以加快輪廓線在圖像狹窄區域的演化速度，并為改進的模型設計快速對偶算法以簡化算法設計，提高求解效率。數值實驗表明，改進模型及算法在計算效率方面較經典模型及算法有較大提高。

關鍵詞：自排斥Snake模型;拓撲保持分割;對偶算法;梯度矢量流;變分法

中圖分類號：TP391 文獻標志碼：A

圖像分割是把圖像分成各具特性的區域并提取感興趣目標的技術和過程，在醫學影像[1]、遙感影像[2]、深度學習[3]等多個領域得到了廣泛應用。在某些特定情況下，需要在圖像分割的基礎上保持分割目標的拓撲結構來實現更好的分割效果，比如在醫學圖像中，大腦皮層表面的分割結果必須與真實世界大腦皮層結構一致[4]，再比如具有噪聲或遮擋的對象的分割，可以使用拓撲約束來防止過度分割或欠分割等。學者在這一領域提出了許多模型及方法，如基于拓撲先驗的最小切割/最大流算法[5];具有可變視場拓撲約束的自動磁共振脊髓分割方法[6];能在多標簽圖像分割中保持拓撲的方法[7];約束輪廓演化的拓撲保持方法[8];非局部的拓撲保持分割模型和基于非局部形狀描述符的分割模型[9-10];使用形狀的Beltrami表示進行拓撲保持圖像分割的方法[11];基于超彈性正則化的拓撲保持三維圖像分割模型[12]等。為使測地線活動輪廓模型[13]具有拓撲結構的適應性，模型求解時往往采用變分水平集方法[14]。變分水平集方法由于具有自適應復雜拓撲結構變化、二維和三維圖像分割模型表達一致、數值計算方法穩定以及具有集成多模型信息能力等特點，在圖像分割領域被廣泛應用[15]。變分水平集方法可以方便地追蹤物體的拓撲結構改變，但對于有粘連的物體分割效果不理想。為了在輪廓演化過程中保持拓撲結構，通常在變分公式中添加一個約束項，以防止輪廓自相交，即合并或分裂，如隱式水平集框架中的簡單點檢測方案，該方案通過引入算法，在每次迭代時都監視水平集函數的符號變化并防止水平集函數改變符號不簡單的網格點[16];或將拓撲保持問題重鑄為水平集的形狀優化問題，使用了符號距離函數，避免了演化輪廓的窄帶重疊[17];利用基于結能量最小化的方法來實現同樣的效果[18];或在引入非局部正則化項時使用了類似的思想，并應用于遙感圖像中細長物體的跟蹤[19];而后出現了自排斥Snake模型（Self-repelling Snake，SRS）[20]，該模型使用隱式水平集方法表示曲線，并在經典測地活動輪廓線模型中添加了非局部排斥項[13]。SRS模型對于拓撲保持分割效果較好，但也存在一些問題，如對于狹窄圖像區域作用力不足，梯度下降方程的推導復雜，需要使用迎風差分離散格式，內存用量也會隨著圖像大小的增加而迅速增長。文獻[21]使用了Split Bregman算法求解原SRS模型，相對于SRS模型，減少了內存用量，縮短了迭代時間。本文針對狹窄圖像區域作用力不足，設計一種加入梯度矢量流有向力場[22]的模型，通過引入對偶變量，利用凸優化模型的快速對偶算法[23]，使用投影方法進行約束，并對其迭代求解，與原模型及方法在多幅圖像上開展對比實驗，通過對比分割效果、迭代次數以及運行時間，驗證了所提模型及方法的有效性和高效性。

1 相關研究工作基礎

1.1 SRS模型

SRS模型是在測地活動輪廓線模型[10]基礎上加入氣球力項和排斥力項，使用隱式水平集方法來表示曲面，其中分割輪廓隱式表示為符號距離函數[24]的零水平線，模型的定義為：令fx：Ω→R為標量值圖像，x∈Ω，Ω為圖像域，Ω為其邊界，標準邊緣檢測函數gx

gx=11+ρGσfs（1）

其中，s=1或2，ρ是縮放參數，Gσ表示圖像的高斯卷積，標準差為σ，對象邊界C用水平集函數的零水平集表示

C=x∈Ωx=0（2）

水平集函數被定義符號距離函數

x=-dx，C? x inside C0????? x∈Cd（x，C）?? x outside C （3）

其中，dx，C是點x與輪廓C之間的歐氏距離。作為一個符號距離函數，滿足以下約束條件

=1（4）

為了表示圖像區域和輪廓，引入了Heaviside函數H和Dirac函數δ，由于原始 Heaviside 函數是不連續的，因此不可微，所以采用以下正則化方案

Hε=121+ε+1πsinπε ≤ε1??????????? >ε0??????????? <-ε （5）

δε=12ε1+cosπε??? ≤ε0??????????? >ε （6）

SRS模型的能量泛函為

E（）=γ∫ΩgxHεxdx+α∫Ωgx1-Hεxdx-

β∫Ω∫Ωe-x-y2d2x·yhεxhεydxdy（7）

其中，等式右邊第一項為等高線的測地線長度[13]，改寫為γ∫Ωgxxδεxdx;第二項為氣球力項，能夠推動分割輪廓越過弱邊緣;第三項為排斥力項，在分割輪廓線較近時能夠限制拓撲結構的改變。γ，α，β為平衡三個條件的懲罰參數，e-x-y2d2是用來測量兩個點x和y的接近度，距離越遠的點排斥力越小，hεx和hεy表示x點和y點周圍的窄帶（l為實數）

hεx=Hεx+l1-Hεx-l（8）

hεy=Hεy+l1-Hεy-l（9）

SRS模型的能量極值問題

minE=γ∫Ωgxxδεxdx+α∫Ωgx1-Hεxdx-????? β∫Ω∫Ωe-x-y2d2x·yhεxhεydxdy s.t.=1 （10）

應用變分方法解以上三個能量項，演化方程為

t=δεxγ·gx+αgx+4βd2hεx∫Ωe-x-y2d2x-y·yhεydy x∈Ωx，0=0x???? t=0=0???????? x∈Ωs.t.=1 （11）

關于=1的約束，采用以下動態初始化方案

t+signx-1=0x，0=x （12）

式（12）是一個典型的Hamilton-Jacobi方程，可以通過迎風差分格式[24]進行離散求解。

1.2 SRS模型的AOS（Additive Operator Splitting）方法

文獻[20]中應用的是傳統AOS方法。用半點差分格式和諧波平均近似對式（11）中的第一個式子等式右邊的第一項進行離散，后兩項采用迎風方案。通過將圖像的行和列分別連接起來，構造了兩個半隱式格式

1-2τAx1kvk+1=k+τT2k+T3k（13）

1-2τAx2kwk+1=k+τT2k+T3k（14）

其中，Ax1和Ax2為兩個串聯矩陣，v和w為中間變量，T2和T3是演化方程中的第一個式子等式右邊的第二項和第三項的迎風離散化，對于每個All∈x1，x2

Alijk=2γοkiοkigi+οkjgj???? j∈Nli-Σm∈Nl（i）2γοkiοkigi+οkmgm j=i0????????????? else （15）

其中，i，j為圖像中的兩點，Nli是矩陣Al中i的鄰域

οkj=i+1，j-i-1，j22+i，j+1-i，j-122（16）

最后，k+1計算為

k+1=12vk+1+wk+1（17）

總體上說，AOS方法解決了SRS模型的計算問題，但是引入了新的參數，且算法計算復雜，內存用量也會隨著圖像大小的增加而迅速增長。

2 ISRS（Improved Self-repelling Snake）模型及對偶算法

2.1 對偶算法

通過使用對偶算法[23]，可以簡化算法設計，提高求解效率。對偶算法的主要解決思路是引入對偶變量

γ∫ΩgxHεxdx=max：≤γg（x）∫ΩHεx·dx（18）

對原變量和對偶變量進行快速迭代計算，得到SRS模型的交替優化形式為（k為迭代次數）

k+1，k+1=argmin：=1max：≤γgx∫ΩHεx·dx+α∫Ωgx1-Hεxdx-

β∫Ω∫Ωe-x-y2d2x·yhεxhεydxdy? （19）

交替優化方法通過固定其他變量，從而求解一個變量的極值問題，式（19）可轉化為以下子優化問題

k+1=argmax E1=Ek，s.t.≤γgx （20）

k+1=argmin E2=E，k+1（21）

首先，固定變量k，由式（19）得到關于k+1的能量泛函極值問題

k+1=max≤γgxEk，=max≤γgx∫ΩHεkx·xdx （22）

求解式（22），得到的梯度下降方程

t=-Hεkxs.t.≤γgx （23）

得

x=kx+τkpHεkx（24）

求對偶變量的解，得

k+1x=kx+τkpHεkxs.t. k+1≤γgx （25）

由式（25）得的投影公式

k+1xγgxk+1xmaxk+1（x），γgx（26）

固定k+1，求解k+1，由式（19）得到關于的能量泛函極值問題

k+1=min：=1E，k+1=min：=1∫ΩHεx·k+1dx+α∫Ωgx1-Hεxdx-

β∫Ω∫Ωe-x-y2d2x·yhεxhεydxdy （27）

對式（27）求偏導，得

E+εηε=∫Ω·k+1δεxηxdx-α∫Ωgxδεxηxdx-

4βd2∫Ωhεx∫Ωe-x-y2d2x-y·yhεydyηxdx（28）

其中，ε為一個極小增量，η為一個與性質相同的任意函數。

通過梯度降方法來求解，得

t=αgx-·k+1δεkx+?? 4βd2hεkx∫Ωe-x-y2d2x-y·kyhεkydy=1 （29）

整理，得

t=αgx-·k+1δεkx+?? 4βd2hεkx∫Ωe-x-y2d2x-y·kyhεkydyt+signx-1=0 （30）

2.2 GVF模型

本文提出的方法添加了GVF（Gradient Vector Flow）模型[22]，該模型可以有效地克服模型不能收斂到輪廓凹陷的問題，且該模型是基于外力矢量的能量函數構造的，利用該能量函數可以產生約束輪廓向邊界演化的力。其中GVF力的力場為：x，y=ux，y，vx，y，能量泛函定義為

E=α∫ 2dx+∫f 2-f2dx（31）

其中，f為與圖像數據有關的外部能量項，f為外部作用力。α為懲罰參數用來平衡能量項中的第一項與第二項，α越大，該力場就越平滑。在圖像邊緣附近f2較大，外部能量項（第二項）起主要作用，此時趨近于f。而在灰度比較均勻的區域，式中第二項為零，只有第一項起作用，此時具有平滑的作用。

令Qk=αgx-·k+1，用代替δεx，并將GVF力·加入到式（30）當中，得

t=Qk+·+4βd2hεkx∫Ωe-x-y2d2x-y·kyhεkydy（32）

2.3 離散化及迭代方案

對初始化

k + 1，0i，j = ki，j（33）

令

Qki，j=αgi，j--·k+1i，j（34）

使用迎風差分格式離散求解，得

k+1，li，j+=max-x1k+1，li，j，02+min+x1k+1，li，j，02+max-x2k+1，li，j，02+min+x2k+1，li，j，02（35）

k+1，li，j-=min-x1k+1，li，j，02+max+x1k+1，li，j，02+min-x2k+1，li，j，02+max+x2k+1，li，j，02（36）

其中

+i，j=i+1，j-i，j（37）

-i，j=i，j-i-1，j（38）

式（32）的求解結果為

k+1，l+1i，j-k+1，li，jτ=maxQki，j，0k+1，li，j-+minQki，j，0k+1，li，j++maxF1，0+x1k+1，li，j+

minF1，0-x1k+1，li，j+maxF2，0+x2k+1，li，j+minF2，0-x2k+1，li，j+

4βd2hεk+1，li，jx∫Ωe-x-y2d2x-y·k+1，li，jyhεk+1，li，jydy（39）

整理，得

k+1，l+1i，j=k+1，li，j+τ＼[maxQki，j，0k+1，li，j-+minQki，j，0k+1，li，j++maxF1，0+x1k+1，li，j+

minF1，0-x1k+1，li，j+maxF2，0+x2k+1，li，j+minF2，0-x2k+1，li，j+

4βd2hεk+1，li，jx∫Ωe-x-y2d2x-y·k+1，li，jyhεk+1，li，jydy＼]（40）

ISRS模型的對偶算法為：

1）初始化。根據式（1）計算gx，初始化0x為符號距離函數并設置0=0;

2）設置懲罰參數的值;

3）設置時間步長和迭代次數;

4）迭代過程：

for i =0，1，2，…，step

compute k+1 from （26）;

for k=0，1，2，…，K

for s=0，1，2，…，S

calculate k+1，s+1 from （40）

end for s

end for k

end for i

3 數值實驗與分析

本部分針對本文提出的ISRS模型的對偶算法進行分割實驗，并與經典SRS模型的AOS方法進行比較，對比兩者的拓撲保持的分割效果及計算效率。為了客觀比較實驗結果，對每個實驗中的兩種方法使用相同的初始化位置。實驗中用黑色線條表示分割區域邊界。實驗環境：CPU為Intel（R）Core（TM）i5-8500T，內存8G，操作系統為Windows10，軟件平臺為Matlab2018b。

圖1為SRS模型的AOS方法分割合成手部圖像的效果圖，圖2為ISRS模型的對偶算法分割合成手部圖像的效果圖。

圖1 SRS模型的AOS方法分割合成手部圖像

（a）初始輪廓線;（b）迭代200次效果;（c）迭代500次效果;（d）迭代900次效果

圖2 ISRS模型的對偶算法分割合成手部圖像

（a）初始輪廓線;（b）迭代20次效果;（c）迭代40次效果;（d）迭代60次效果;（e）迭代100次效果;（f）迭代200次效果

圖1參數分別為1、0.5、1、2×2、-0.2、-0.2、1，其中h、τ、l均根據文獻[20]中參數設置;window表示搜索框的大小，α，β，ε均根據文獻[20]中參數做了適量調整，圖像大小127×150像素。圖2參數γ、α、β、ε、τ、τ2、τ3、l、d、window分別為1、10、0.01、0.1、0.5、0.2、0.125、1、4、3×3，其中，γ為Snake模型的參數，用來保持正常的分割作用;α為氣球力項參數，能使模型在平滑區域加速分割;β為排斥力項參數，用于保持0水平集的拓撲結構;ε為域值，讓水平線函數保持0-1的形態，從而使函數變為分段常值函數，便于計算和保持良好的形態;τ為以及k迭代過程中的時間步長;τ2為s迭代過程中的時間步長;τ3為迭代過程中的時間步長;以上三項均根據時間步長基本原則進行取值，為長期實驗所取得的經驗值;l為拓撲保持距離，l越大，拓撲保持距離越遠;d為高斯卷積核的標準差， window為搜索框大小;圖像大小300×354像素。

對比圖1圖2兩組圖像，可以看出兩組運行結果基本一致，但本文改進的模型及方法相比原來的模型及AOS方法迭代次數有了大幅度地減少。本文改進的模型及方法在迭代到第100步時便達到收斂條件，完成分割，并且拓撲結構得到了保持，而傳統的模型及方法900步才完成分割。

圖3為SRS模型的AOS方法分割人為噪聲圖像的效果圖，圖4為ISRS模型的對偶算法分割人為噪聲圖像的效果圖。圖3參數分別為1、0.5、1、2×2、-0.2、-0.2、1，圖像大小200×138像素。圖4參數γ、α、β、ε、τ、τ2、τ3、l、d、window分別為8、10、0.01、0.1、0.5、0.2、0.125、1、4、3×3，圖像大小400×275像素。

圖3 SRS模型的AOS方法分割人為噪聲圖像

（a）初始輪廓線;（b）迭代200次效果;（c）迭代400次效果;（d）迭代800次效果

圖4 ISRS模型的對偶算法分割人為噪聲圖像

（a）初始輪廓線;（b）迭代10次效果;（c）迭代20次效果;（d）迭代40次效果;（e）迭代80次效果;（f）迭代200次效果

對比圖3圖4，兩種方法的運行結果都較好地保持了圖像本身的拓撲結構，但本文改進的模型及方法在迭代到第80步時便達到收斂條件，完成分割，并且拓撲結構得到了保持，而傳統模型及AOS方法在第800步才完成分割。

圖5為SRS模型的AOS方法分割腦部切片1的效果圖，圖6為ISRS模型的對偶算法分割腦部切片1的效果圖。圖5參數h、τ、l、window、α、β、ε分別為1、0.5、1、2×2、-0.2、-0.2、1，圖像大小125×125像素。圖6參數γ、α、β、ε、τ、τ2、τ3、l、d、window分別為1、50、0.01、1、0.3、0.12、0.125、1、4、5×5，圖像大小300×300像素。

圖5 SRS模型的AOS方法分割腦部切片1

（a）初始輪廓線;（b）迭代200次效果;（c）迭代400次效果;（d）迭代700次效果

圖6 ISRS模型的對偶算法分割腦部切片1

（a）初始輪廓線;（b）迭代10次效果;（c）迭代20次效果;（d）迭代30次效果;（e）迭代50次效果;（f）迭代100次效果

對比圖5圖6，本文改進的模型及方法同原模型的AOS方法相比能更好地進入到凹槽內，并且在迭代次數上也有了大幅度地減少。本文改進的模型及方法在迭代到第50步時便達到收斂條件，完成分割，并且拓撲結構得到了保持，而傳統模型及AOS方法在第700步才完成分割。

圖7為SRS模型的AOS方法分割腦部切片2的效果圖，圖8為ISRS模型的對偶算法分割腦部切片2的效果圖。圖7參數h、τ、l、window、α、β、ε分別為1、0.5、1、2×2、-0.2、-0.2、1，圖像大小125×125像素。圖8參數γ、α、β、ε、τ、τ2、τ3、l、d、window分別為1、50、0.01、10、0.3、0.12、0.125、1、4、5×5，圖像大小300×300像素。

（a）初始輪廓線;（b）迭代200次效果;（c）迭代400次效果;（d）迭代800次效果

（a）初始輪廓線;（b）迭代10次效果;（c）迭代20次效果;（d）迭代30次效果;（e）迭代50次效果;（f）迭代100次效果

對比圖7圖8，兩種方法都保持了對象本身的拓撲結構，本文改進的模型及方法在迭代到第50步時便達到收斂條件，完成分割，并且拓撲結構得到了保持，而傳統模型及AOS方法在第800步才完成分割。

表1給出了以上四個對比實驗的迭代次數、運算時間以及運算時間加速比的具體數值。可知，在有參數影響的情況下，本文也能較好地保持分割對象的拓撲結構，并在保持對象拓撲結構的基礎上大幅度減少了算法的迭代次數，模型的收斂速度也得到了大幅度提高。

4 結論

為了進一步提高拓撲保持分割模型的計算效率，本文提出了ISRS模型及其對偶算法，簡化了計算過程，提高了運算速度;GVF有向力場明顯加快了輪廓線在圖像狹窄區域的演化速度。對比實驗表明，本文模型及其對偶算法的解類似于經典SRS模型及其方法的解，可以有效防止分割輪廓的合并或分裂，保持原來的拓撲結構，并且在計算效率方面較經典模型與算法有較大提高。下一步工作可以嘗試用高階模型來忽略分割過程中的微小細節，保持邊緣的紋理特征。

參考文獻

[1]國凱，王國棟，潘振寬，等.CT影像中的主動脈血管鈣化檢測[J].青島大學學報（自然科學版），2013，26（1）：50-54.

[2]田佑仕，黃寶香，姜濤，等.融合圖像恢復的遙感數據變分分割方法研究[J].青島大學學報（自然科學版），2020，33（4）：1-8.

[3]吳則舉，王嘉琦，焦翠娟，等.基于深度學習網絡U-Net的輪胎帶束層分割算法研究[J].青島大學學報（自然科學版），2019，32（4）：22-29+35.

[4]MACDONALD D， KABANI N， AVIS D， et al. Automated 3-D extraction of inner and outer surfaces of cerebral cortex from MRI[J]. NeuroImage， 2000， 12 （3）：340-356.

[5]ZENG Y， SAMARAS D， CHEN W， et al. Topology cuts： A novel min-cut/max-flow algorithm for topology preserving segmentation in N-D images[J]. Computer Vision and Image Understanding， 2008， 112 （1）：81-90.

[6]CHEN M， CARASS A， OH J， et al. Automatic magnetic resonance spinal cord segmentation with topology constraints for variable fields of view[J]. NeuroImage， 2013，83： 1051-1062.

[7]WAGGONER J， ZHOU Y J， SIMMONS J， et al. Topology-preserving multi-label image segmentation[C]// IEEE Winter Conference on Applications of Computer Vision （WACV 2015）， Waikoloa， 2015： 1084-1091.

[8]LIU G Q， LI H F， YANG L. A topology preserving method of evolving contours based on sparsity constraint for object segmentation[J]. IEEE Access， 2017， 5：19971-19982.

[9]DEBROUX N， OZERE， S， LE GUYADER C. A non-local topology-preserving segmentation-guided registration model[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2017， 59 （3）：432-455.

[10] DEBROUX N， LE GUYADER C. A joint segmentation/registration model based on a nonlocal characterization of weighted total variation and nonlocal shape descriptors[J]. SIAM Journal on Imaging Sciences， 2018， 11 （2）：957-990.

[11] CHAN H L， YAN S， LUI L M， et al. Topology-preserving image segmentation by beltrami representation of shapes[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2018， 60 （3）：401-421.

[12] ZHANG D P， LUI L M. Topology-Preserving 3D image segmentation based on hyperelastic regularization[J]. Journal of Scientific Computing， 2021， 87（3）： 74.

[13] CASELLES V， KIMMEL R， SAPIRO G. Geodesic active contour. IJCV[J]. International Journal of Computer Vision， 1997， 22（1）：61-79.

[14] ZHAO H， CHAN T， MERRIMAN B， et al. A variational level set approach to multiphase motion[J]. Journal of Computational Physics， 1996， 127（1）： 179-195.

[15] 郭振波.基于變分水平集方法的多相圖像分割研究[D]. 青島： 中國海洋大學， 2008.

[16] HAN X， XU C Y， PRINCE J L. A topology preserving level set method for geometric deformable models[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence， 2003， 25（6）：755-768.

[17] ALEXANDROV O， SANTOSA F. A topology-preserving level set method for shape optimization[J]. Journal of Computational Physics， 2005， 204（1）：121-130.

[18] SUNDARAMOORTHI G， YEZZI A. Global regularizing flows with topology preservation for active contours and polygons[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2007， 16（3）：803-812.

[19] ROCHERY M， JERMYN I H， ZERUBIA J. Higher order active contours[J]. International Journal of Computer Vision， 2006， 69（1）：27-42.

[20] GUYADER C L， VESE L A. Self-repelling snakes for topology-preserving segmentation models[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 2008， 17（5）：767-779.

[21] PAN H， SONG J， LIU W， et al. Using the split bregman algorithm to solve the self-repelling snake model＼[J＼]. Computer Vision and Pattern Recognition， 2021＼[2021-08-15＼]https：//doi.org/10.1007/s10851-021-01065-9.

[22] XU C， PRINCE J L. Snakes， shapes， and gradient vector flow[J]. IEEE Transactions on Image Processing， 1998：7（3）：359-369.

[23] CHAMBOLLE A. An algorithm for total variation minimization and applications[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision， 2004， 20（1-2）： 89-97.

[24] OSHER S， SETHIAN J A. Fronts propagating with curvature-dependent speed： Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations＼[J＼]. Journal of Computational Physics， 1988， 79 （1）： 12-49.

Topology Preserving Segmentation Model Based on

GVF Force and Its Dual Algorithm

SHEN Meng-jie， PAN Zhen-kuan， SONG Jin-tao， WEI Wei-bo

（College of Computer Science & Technology， Qingdao University， Qingdao 266071， China）

Abstract：

In view of the insufficient force of the self-repelling Snake model on narrow image regions， the calculation of traditional additive operator splitting method is complicated， and the memory usage will also increase rapidly with the increase of the image size. It is proposed that the Gradient Vector Flow directed force field based on the original model was added to accelerate the evolution speed of the contour line in the narrow area of the image， and a fast Dual algorithm is designed for the improved model to simplify the algorithm design and improve the efficiency of the solution. Numerous numerical experiments show that the proposed improved model and algorithm have a greater improvement in computational efficiency than the classic model and algorithm.

Keywords：

self-repelling snake model; topology-preserving segmentation; dual algorithm; gradient vector flow; variational method

收稿日期：2021-09-10

基金項目：

國家自然科學基金（批準號：61772294，11472144） 資助;山東省聯合基金（批準號：ZR2019LZH002） 資助。

通信作者：

潘振寬，男，博士，教授，主要研究方向為計算機視覺、圖像處理，E-mail： zkpan@126.com