基于ICA和Box-Cox變換的鋰離子電池SOH估計方法

張吉昂，王 萍，程 澤

（天津大學電氣自動化與信息工程學院，天津 300072）

鋰離子電池以其輸出電壓高、循環壽命長和能量密度高等優點，正逐漸成為電動汽車、變電站和光伏電網的重要儲能裝置[1]。電池管理系統BMS（battery management system）可以對電池進行狀態評估、風險預警、定期維護和更換，以保證電池的長期穩定運行。其中，準確的電池健康狀態SOH（state of health）[2]估計是BMS的關鍵環節。SOH是表征電池老化程度的重要指標，一般表示為電池當前可用容量與初始容量的比值，一般認為該值下降到70%～80%時，電池壽命終止EOL（end of life）[3]。

不同于電壓電流等可測量，SOH無法用傳感器測量，只能通過對電池特征參數的觀測與辨識，并結合數學算法進行定量估計。電池的SOH估計方法大致可以分為基于模型的方法[4]和基于數據驅動的方法[5]，前者需要建立電池模型，計算較復雜，不適合BMS的在線應用；后者無需建立電池的物理模型，直接從電池的測量數據（如電壓、電流、溫度、阻抗等）中提取能夠指示電池健康狀態的健康特征HF（health factor），并采用一定的學習方法來構造電池的HF與SOH的映射關系，建立老化模型。然后在線獲取當前循環次數下的HF測量值，輸入到訓練好的老化模型中，即可獲取當前SOH的估計值。這類方法的實用性較強，適合SOH的在線估計。

容量增量分析ICA（incremental capacity analy-sis）是研究鋰離子電池容量衰退的常用方法，該方法通過繪制容量增量曲線，將緩慢變化的充電電壓平臺轉化為IC曲線峰值高度，電池處于不同的老化狀態下的IC曲線會有明顯不同，可以揭示更多反映電池老化的信息，且容易在線應用。IC曲線的相關特征，如IC峰的數值和位置[6]，也常被用來作為健康特征HF（health factor）來估算電池的當前實際可用容量。ICA存在的問題主要是IC曲線的提取涉及電壓和容量的差分，這容易受到噪聲的干擾[7]，限制了其應用。

現有研究常采用機器學習方法來建立HF和SOH之間的映射關系，這往往需要繁瑣的超參數優化[8]，計算量較大，影響了在線應用。許多健康特征往往和循環容量呈現近似線性的關系[9]，從這個角度上說，相比于機器學習算法，建立線性模型能夠避免繁瑣的超參數優化，提升計算效率。但有些HF存在與SOH的線性相關性不夠強的問題，影響了估計效果。文獻[10]采用Box-Cox變換增強特征與容量退化的相關性，提升了估計精度。

基于上述分析，本文提出了基于ICA和Box-Cox變換的鋰離子電池SOH估計方法。首先通過建立電池一階等效電路模型，論證ICP與健康狀態的強相關性。用卡爾曼濾波算法對IC曲線進行平滑處理，采用Box-Cox變換將訓練周期的ICP和SOH序列轉化為近似線性關系，然后通過線性擬合來實現剩余周期的SOH估計。在Oxford數據集和NASA數據集上進行實驗驗證，并將本方法與常用機器學習的方法進行對比，結果表明本方法克服了傳統機器學習算法依賴較多訓練集和繁瑣超參數優化的缺點，具有較高的估計精度和計算效率，同時算法的魯棒性較強，在不同訓練周期下都能穩定收斂。

1 相關性證明

通過理論分析來論證電池恒流充電的IC曲線峰值高度與健康狀態之間的強相關性。電池常用的模型主要是一階等效電路模型[8]，結構如圖1所示。

圖1 一階等效電路模型Fig.1 First-order equivalent circuit model

其模型的數學表達式為

式中：U為端電壓；I為輸入電流，恒壓充電電流一般選取1C～2C；Up為極化電壓；R0為歐姆內阻；Rp和Cp分別為極化電阻和極化電容，在恒流充電階段為定值，僅隨循環次數而改變；Uocv為荷電狀態SOC（state of charge）的函數，Uocv=f（SOC）。恒流充電下SOC的表達式為

式中，Q(n)為第n次充放電循環下的可用容量。此時的健康狀態計算公式為

式中，QN為電池的出廠容量。

觀察式（6），對于不同類型的鋰離子電池，Cp的辨識值一般為數千量級，時間常數τ=RpCp為幾十秒[11]，且隨著電池老化逐漸增大。而在1C電流下，充電時間為1 h，指數項在充電時間內很快衰減，故式（6）等號右邊指數項可以忽略。在單次循環下，I Q(n)為常數。當達到最小值點，即曲線的拐點，此時式（6）有最小值。OCV-SOC曲線受健康狀態的影響較小[12]，故的最小值與循環次數n無關，在電池全周期設為常數k，則有

式中，ICP(n)為第n次循環下的IC曲線峰值高度。式（7）表明，ICP和健康狀態序列是完全線性關系，但是由于做了數學簡化，忽略了極化電流指數衰減項和OCV-SOC曲線隨老化程度的變化，此外存在隨機噪聲對電壓測量的影響，實際情況下不會呈現線性關系，但可以認為兩者具有較強相關性。

2 健康特征提取

本文選取牛津大學電池老化數據集的Cell1～Cell8電池和NASA數據集的B0005和B0007電池進行實驗。數據集介紹和電池類型參見文獻[7]。

電池的放電工況是不可預測的，而充電工況一般采取恒流-恒壓CC-CV（constant current constant voltage）模式，對CC階段的電壓變化曲線進行數值差分來獲取dQ/dU，即

式中：L為差分步長；k為采樣點數；Ts為采樣時間；Q（k）和U（k）分別為第k個采樣點的充電容量和電壓值。將dQ/dU記作DQV。由于電壓和電流傳感器的測量精度有限，計算電流（容量）和電壓的差分會帶來大量噪聲，影響IC曲線的形態和健康特征的提取，本文采用卡爾曼濾波KF（Kalman filter）算法進行平滑處理[7]，優勢在于可以根據測量數據實時濾波，適合BMS的在線應用。狀態方程和觀測方程為

式中：DQV（k）為平滑后第k個時刻的輸出值；DQVm(k)為第k個時刻的觀測值；w（k）和v（k）分別為第k個時刻的過程噪聲和觀測噪聲協方差。

KF算法在線濾波的流程如圖2所示。

圖2中，A=1，H=1，y（k）和x（k）分別為第k個時刻濾波前后的IC曲線輸出值，P(k)為第k個時刻的方差陣，x-(k)和P-(k)分別為k時刻狀態變量和方差矩陣的先驗估計，K（k）為k時刻系統的卡爾曼增益，Qf和Rf分別為過程噪聲ω和觀測噪聲ν的協方差，ω和ν共同作用在DQV上，使其受到噪聲污染。本文根據經驗設置L=20 s，Qf=0.000 1，Rf=1，方差迭代初值P0=0.1，狀態量初值x0=[0 0]T。濾波前后的IC曲線如圖3所示。

圖2 KF算法流程Fig.2 Flow chart of KF algorithm

圖3 濾波前的IC曲線Fig.3 IC curve before filtering

由圖3和圖4可知，引入KF算法，IC曲線明顯光滑，峰值高度ICP清晰可見，隨著電池老化程度的加深，ICP不斷降低，與容量的衰退呈現較好的關聯性，印證了第1節的討論。

圖4 濾波后的IC曲線Fig.4 IC curve after filtering

為了進一步量化這種相關性，本文采用Pearson相關系數和灰色關聯度GRC（grey relation coefficient）來對ICP與SOH相關程度進行衡量。計算公式分別為

式中：ICPi為第i次循環的ICP值；SOHi為第i次循環的健康狀態值；n為總的循環次數；ρ為分辨系數，一般取0.5。Pearson系數從線性相關性的角度衡量兩個變量序列之間的關聯程度，其值位于[-1，1]之間，絕對值越大，相關性越高。GRC從兩個變量序列的幾何曲線相似程度的角度來衡量其相關程度，其值位于[0，1]之間，越接近1，相關性越高，分別計算各電池的ICP與SOH之間的Pearson系數和GRC，如表1所示。

表1 各電池SOH與ICP的相關度Tab.1 Relevance between SOH and ICP of each battery

由表1可知，各電池的Pearson系數的計算結果都在0.97以上，GRC基本在0.8以上，呈現出較高的相關性，這與前面的論證結果相符。

3 Box-Cox變換與線性模型建立

3.1 Box-Cox變換

理想情況下，ICP與SOH退化序列呈現完全線性的關系，如式（7）所示，然而由于電池容量退化過程的復雜性，其相關程度不能完全令人滿意，為了糾正這種線性偏差，本文采用Box-Cox變換[10]進一步增強ICP與SOH衰退序列的線性相關性。

設因變量y=(y1,y2,…,yn)T，多元自變量x=(xi1,xi2,…,xiq)T，考慮線性回歸模型為

式中：β為回歸系數，β=[β0β1β2…βq]T；εi為不可測誤差，εi～N(0,δ2)；i=1，2，…，n，n為樣本容量。

Box-Cox變換可以表示為

式中，xt和分別為變換前、后的變量。相應的Box-Cox反變換為

式中：c為保證x+c為正數的常數；λ為待辨識參數。此時的回歸模型變為

此時x(λ)與y的相關性得到了增強。λ的確定方法主要有極大似然估計法和貝葉斯方法，本文采用極大似然估計法來辨識λ。即通過遍歷搜索λ，使得數據聯合分布似然函數有最大值。具體數學推導參見文獻[10]。

3.2 電池老化線性模型建立

由式（7）可知，在數學簡化下，ICP和SOH為完全線性關系，然而，考慮到電池參數老化和極化效應等影響，ICP與SOH呈現一定的彎曲度，如圖5的方形和三角形散點所示。實際應用中不可能知道電池的全周期容量數據，但前N個循環周期的容量數據和特征數據可以通過核容法標定，N為建模預測起點SP（starting point）。由圖4可知，電池的全周期容量退化與IC峰值衰減具有較好的一致性，可以認為ICP和SOH的非線性對應關系在電池全周期衰退中保持一致。所以通過前N個循環的數據進行Box-Cox變換來辨識λ，能夠獲知全周期ICP-SOH曲線的彎曲度信息和非線性程度，進而將ICP-SOH曲線變換為近似一條直線，并采用最小二乘法辨識線性模型的斜率k和截距b；在線應用時實時采集SP之后周期的電壓電流數據并提取ICP，計算ICPλ并代入到建立好的線性模型中即可估計當前循環次數下的SOH。圖5展示了N=20時的建模過程，圓形和菱形的點分別為SP前后的ICP與SOH序列。基于ICA-BoxCox變換的鋰離子電池SOH估計方法的流程見圖7。

圖5 Cell1的ICP和SOH的對應關系Fig.5 Relationship between ICP and SOH of Cell1

圖6 參數λ尋優過程Fig.6 Optimization of parameter λ

圖7 ICA-BoxCox變換SOH估計流程Fig.7 Flow chart of SOH estimation using ICA-BoxCox transform

4 結果與分析

4.1 小樣本訓練集下的估計效果

建立SOH估計模型時，通常希望訓練樣本數N較小，因為訓練周期的容量需要安時積分法核容獲得，比較費時費力。Oxford電池用前20%的容量衰退數據來預測后80%，NASA電池用前30%來預測后70%。并與常用的機器學習方法最小二乘支持向 量 機 LSSVM[8]（least squares support vector machine）和高斯過程回歸GPR（Gaussian process regression）進行對比。其中LSSVM的超參數采用粒子群算法優化[8]，GPR的超參數采用共軛梯度法優化。用訓練集的原始ICP和SOH序列建立機器學習回歸模型，在線應用時采集新循環周期下的健康特征數據，代入訓練好的回歸模型中，輸出當前SOH的估計值。LSSVM方法的正則化因子γ和核函數超參數δ2的搜索范圍為[10，1 000]，粒子規模為30，迭代次數設為10次。GPR方法采用有理協方差核函數，均值函數初值設為3，方差函數初值設為[0 0 0]，似然函數初值設為-1。3種方法的估計結果和誤差百分比如圖8所示。MAE和RMSE的計算結果如表2所示，同時列出了3種方法的計算時間。

圖8 各電池的SOH估計結果Fig.8 SOH estimation results of each battery

圖8（a）、（d）顯示了對SP之前的ICP和SOH序列進行Box-Cox變換前后Cell1和B0005電池全周期的ICP和SOH的分布散點圖。Box-Cox變換后的點中，圓點表示訓練樣本，用以建立線性模型（直線），方塊表示測試樣本，可知方塊集中在線性模型附近，擬合效果較好。變換前后ICP和SOH的線性相關性明顯增強，接近于一條直線，對比表1和表2可知，Pearson系數和GRC都較變換前有了很大的提高。估計結果和相對誤差百分比見圖8（b）（c）（e）（f）。更多電池結果見表2。Oxford電池的MAE和RMSE的計算結果均小于1%；NASA電池的MAE和RMSE的計算結果均小于2%。反映了本文所提方法具有較高的估計精度，并且只需要較少的訓練周期樣本數，同時該方法能夠適應電池不一致性造成的多種容量衰退情形以及容量的局部再生現象。

表2 SOH估計結果Tab.2 Estimation results of SOH

LSSVM和GPR的估計結果和誤差在圖8中分別用點劃線和點線標出。作為數據驅動類方法，兩者需要較多的訓練樣本數，進而能夠充分學習和映射容量衰退的特征細節，從而建立回歸預測模型。當可供學習的樣本較少時，會導致預測效果不佳，甚至發散。本方法的計算效率較高，原因是Box-Cox變換和基于最小二乘法的線性擬合所需的計算量很小，所以不會占有硬件系統的太多計算資源，適合用于SOH的在線估計；而機器學習算法的超參數對于其性能具有顯著的影響，LSSVM方法的損失函數不可導，往往采用群算法進行超參數優化，這往往需要耗費大量時間，同時算法容易陷入局部最優解，而延長群算法的規模和迭代方式有助于找到更優解，但會耗費更長時間。相比之下，GPR的損失函數可導，可以采用共軛梯度法或類似的牛頓法進行點優化，計算效率有所改善。

4.2 不同訓練集長度的估計效果

考察不同的訓練集規模即N值對估計誤差的影響，以檢驗算法的魯棒性。Oxford電池的訓練集比例從總循環次數的20%～80%以5%逐漸增加；NASA電池的訓練集比例以步長7.5%從30%～75%逐漸增加。各電池不同SOH衰退階段的SOH估計誤差如圖9所示。圖中以訓練集占比為橫坐標，誤差計算值為縱坐標，展示了Cell1和B0005的估計誤差隨訓練集規模的變化曲線。

圖9 各電池不同SOH衰退階段的SOH估計誤差Fig.9 SOH estimation errors of each battery at different SOH degradation stages

由圖9可知，ICA-BoxCox方法的估計誤差較穩定，不同訓練周期數下，Oxford電池大部分點的MAE、RMSE和平均RPE都在1%以內；NASA電池的MAE和RMSE也在2.5%以內，沒有出現發散現象，反映了較好的魯棒性。隨著訓練周期數增多，GPR方法和LSSVM方法能夠學習到容量衰退的特征細節，估計效果總體變好。整體來看，LSSVM的估計方法較差，原因是在較短時間內，粒子群算法難以搜索到較好的超參數解。3種算法的比較分析如表3所示。

表3 各算法比較Tab.3 Comparison among different algorithms

5 結語

本文結合容量增量分析和Box-Cox變換，提出了一種高效的鋰離子電池SOH估計方法。本方法分為建模和應用兩個階段。在建模階段，首先提取電池恒流充電過程的容量增量曲線，通過卡爾曼濾波算法進行在線平滑處理，提取峰值作為健康特征。接著對預測起點以前的健康特征和容量數據進行Box-Cox變換，用變換后的序列建立線性模型。應用階段提取新的循環周期下的健康特征并計算特征的變換值，將其輸入線性模型中預測當前SOH。Oxford和NASA數據集的實驗結果表明，所提方法同LSSVM和GPR相比，估計精度較高，計算速度較快，魯棒性較好。本文從增強特征與容量線性相關性的角度為鋰離子電池的健康狀態估計提供了一種新思路。未來可以將該方法推廣到電池組的狀態估計中，同時該方法在復雜工況下的適用性有待于進一步驗證。