雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的代數(shù)法*

石安宇，李學(xué)剛,2，馮立艷，王文華

(1.華北理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 唐山 063210;2.北京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100876;3.中國冶金地質(zhì)總局，北京 100025)

0 引言

曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種能夠?qū)⑦B續(xù)的轉(zhuǎn)動變?yōu)橹本€往復(fù)運(yùn)動的機(jī)構(gòu)，有著廣泛的應(yīng)用。雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)可同時(shí)實(shí)現(xiàn)兩種直線往復(fù)運(yùn)動，在活塞式發(fā)動機(jī)[1]、機(jī)械加工等方面具有廣闊的應(yīng)用前景，對其進(jìn)行函數(shù)綜合研究具有較高的實(shí)用價(jià)值。目前對曲柄滑塊機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的方法主要有圖解法[2，3]、優(yōu)化法[4，5]、數(shù)值圖譜法[6]等。圖解法無法進(jìn)行多點(diǎn)位的綜合求解，且難以對較為復(fù)雜的雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)進(jìn)行綜合；優(yōu)化法需給出初值進(jìn)行迭代求解，無法保證得到最優(yōu)解；數(shù)值圖譜法需大量數(shù)據(jù)建立圖譜庫，且精度受限。本文提出了一種基于傅氏級數(shù)的雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的代數(shù)方法。該方法可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)多點(diǎn)位函數(shù)綜合，無需給定初值便可對機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合設(shè)計(jì)方程進(jìn)行求解，進(jìn)而得到雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合通解，具有實(shí)用性高、求解速度快、解的多樣性強(qiáng)等特點(diǎn)。

1 雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸出函數(shù)的傅氏級數(shù)表示

圖1為雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖，曲柄OA、OB的長度分別為l1、l2，連桿BC、AE長度分別為l3、l6，偏距CD、EF分別為l5、l8，滑塊C與滑塊E的輸出分別為l4、l7，曲柄輸入轉(zhuǎn)角為φ、初始相位角為φ0，連桿轉(zhuǎn)角為α1、α2。

圖1 雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)示意圖

根據(jù)幾何關(guān)系，滑塊C與滑塊E的輸出函數(shù)均為以時(shí)間t為變量的周期性函數(shù)，因此可表示為以φ為變量的傅氏級數(shù)之和：

(1)

(2)

(3)

(4)

其中：xC為滑塊C關(guān)于時(shí)間t的輸出函數(shù)；yE為滑塊E關(guān)于時(shí)間t的輸出函數(shù)；ω為機(jī)構(gòu)曲柄角速度。

(5)

(6)

2 雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合設(shè)計(jì)方程建立

由圖1可以發(fā)現(xiàn)，雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合需要確定的設(shè)計(jì)參數(shù)為l1、l2、l3、l5、l6、l8、φ0。對于雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合問題，已知條件為輸入輸出函數(shù)曲線，所求為該機(jī)構(gòu)的各桿長度、輸入件初始位置，通過建立機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合設(shè)計(jì)方程，從而能夠獲取方程解析解。

根據(jù)圖1，應(yīng)用矢量分析法，建立兩個(gè)封閉矢量方程：

l4+l5-l2=l3.

(7)

l7+l8-l1=l6.

(8)

式(7)與式(8)的復(fù)數(shù)矢量形式分別為：

(9)

(10)

分別取式(9)與式(10)的共軛可得：

(11)

(12)

定義h1=l2eiφ0、h-1=l2e-iφ0、h2=l1eiφ0、h-2=l1e-iφ0,分別將式(9)和式(11)、式(10)和式(12)相乘，化簡可得：

(13)

(14)

利用傅氏級數(shù)表示輸出函數(shù)時(shí)，取有限項(xiàng)低次諧波參數(shù)就可較好地表示原函數(shù)，因此文中取n=-3,-2,…，2,3。則由式(1)與式(2)可知，滑塊輸出函數(shù)l4與l7可以表示為以φ為變量的傅氏級數(shù)之和：

l4=c-3e-3iφ+c-2e-2iφ+c-1e-iφ+c0+
c1eiφ+c2e2iφ+c3e3iφ.

(15)

(16)

將式(15)代入式(13)，并作出如下定義：

H-5=2c-3c-2;

H-4=K-4-c-3h-1;

H-3=K-3-c-2h-1;

H-2=K-2-c-1h-1-c-3h1;

H-1=K-1-c0h-1-c-2h1-ih-1l5;

H1=K1-c2h-1-c0h1+ih1l5;

H2=K2-c3h-1-c1h1;

H3=K3-c2h1;

H4=K4-c3h1;

H5=2c2c3;

K1=2c1c0+2c2c-1+2c3c-2;

K-1=2c-1c0+2c-2c1+2c-3c2;

K3=2c2c1+2c3c0;

K-3=2c-2c-1+2c-3c0;

化簡可得：

H-6e-6iφ+H-5e-5iφ+H-4e-4iφ+H-3e-3iφ+
H-2e-2iφ+H-1e-iφ+H0+H1eiφ+H2e2iφ+
H3e3iφ+H4e4iφ+H5e5iφ+H6e6iφ=0.

(17)

將式(16)代入式(14)，并作出如下定義：

N-5=2c′-3c′-2;

N-4=K′-4-ic′-3h-2;

N-3=K′-3-ic′-2h-2;

N-2=K′-2-ic′-1h-2-ic′-3h2;

N-1=K′-1-ic′0h-2-ic′-2h2-h-2l8;

N1=K′1-ic′2h-2-ic′0h2+h2l8;

N2=K′2-ic′3h-2-ic′1h2;

N3=K′3-ic′2h2;

N4=K′4-ic′3h2;

N5=2c′2c′3;

K′1=2c′1c′0+2c′2c′-1+2c′3c′-2;

K′-1=2c′-1c′0+2c′-2c′1+2c′-3c′2;

K′3=2c′2c′1+2c′3c′0;

K′-3=2c′-2c′-1+2c′-3c′0;

化簡可得：

N-6e-6iφ+N-5e-5iφ+N-4e-4iφ+N-3e-3iφ+
N-2e-2iφ+N-1e-iφ+N0+N1eiφ+N2e2iφ+N3e3iφ+
N4e4iφ+N5e5iφ+N6e6iφ=0.

(18)

分析式(17)與式(18)可知，Hj(j=-4,-3,…,3,4)與Nj(j=-4,-3,…,3,4)為含有機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)和滑塊輸出函數(shù)傅里葉系數(shù)的表達(dá)式，由復(fù)指數(shù)的性質(zhì)可知，其值應(yīng)為0。由于利用傅氏級數(shù)表示滑塊輸出函數(shù)時(shí)低次諧波項(xiàng)的影響更大，故根據(jù)所求的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，取含低次諧波項(xiàng)的表達(dá)式建立函數(shù)綜合方程：

K-2-c-1h-1-c-3h1=0.

(19)

K2-c3h-1-c1h1=0.

(20)

K1-c2h-1-c0h1+ih1l5=0.

(21)

(22)

K′2-ic′3h-2-ic′1h2=0.

(23)

K′1-ic′2h-2-ic′0h2+h2l8=0.

(24)

(25)

分析求解過程可知l1、l2、l3、l5、l6、l8、φ0的解最終均可轉(zhuǎn)化為僅含滑塊目標(biāo)輸出函數(shù)諧波參數(shù)cn、c′n(n=-3,-2,…，2,3)的計(jì)算公式，故得到了求解雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)的計(jì)算通式。

3 雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸出函數(shù)綜合應(yīng)用實(shí)例

給定的雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸入與輸出關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 給定的雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸入與輸出關(guān)系曲線

(1)將給定滑塊C與滑塊E的輸入輸出函數(shù)分別以2π/64(取64個(gè)點(diǎn))的采樣周期進(jìn)行采樣，并分別將滑塊C與滑塊E的采樣點(diǎn)進(jìn)行傅里葉變換，得到諧波參數(shù)cn、c′n，如表1所示。

表1 雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)輸出的諧波參數(shù)

(2)將所得的cn、c′n值代入雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的計(jì)算通式，可求得設(shè)計(jì)參數(shù)l1、l2、l3、l5、l6、l8、φ0的解，如表2所示。

表2 函數(shù)綜合所得的設(shè)計(jì)參數(shù)

(3)將所得函數(shù)綜合結(jié)果代入運(yùn)動仿真程序，驗(yàn)證其是否滿足設(shè)計(jì)要求。綜合所得結(jié)果與目標(biāo)函數(shù)比較如圖3所示，機(jī)構(gòu)的動態(tài)仿真效果如圖4所示。經(jīng)驗(yàn)證該結(jié)果滿足設(shè)計(jì)要求。

圖3 滑塊目標(biāo)函數(shù)曲線與生成函數(shù)曲線對比

圖4 函數(shù)綜合所得機(jī)構(gòu)的動態(tài)仿真效果

4 結(jié)論

提出了雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合的代數(shù)求解新方法。該函數(shù)綜合方法求解精度高、速度快、實(shí)用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，可實(shí)現(xiàn)多點(diǎn)位雙重曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合；無需進(jìn)行迭代計(jì)算，易于程序?qū)崿F(xiàn)，為開發(fā)相應(yīng)的機(jī)構(gòu)函數(shù)綜合軟件提供了理論基礎(chǔ)。