多用電表歐姆擋為什么“中值”附近相對誤差小?

詹光奕 楊雙偉 史 藝

(北京市第101中學)

“多用電表”是高中常見的測量儀表，它可以用來測量電壓、電流、電阻，其表盤如圖1所示，電阻擋的刻度是不均勻的.在中學物理教學中，通常會直接告訴學生結論:指針應該落在“中值”附近再讀值，并基于此結論選擇合適的電阻倍率擋位.

圖1

為什么指針應該落在“中值”附近呢? 教師給學生的解釋一般是中值附近刻度相對“均勻”，估讀誤差小，但對其依據往往不做說明.

本文基于中學生的學習基礎，本著可以自主閱讀并理解的角度，以幾個進階問題為線索，從理論上對多用電表歐姆擋測量結果為什么在中值附近相對誤差小進行推證和解答.

問題1 多用電表的歐姆擋工作原理是什么?

歐姆表工作分串聯式和并聯式兩類，串聯式基本原理如圖2所示，并聯式基本原理如圖3所示.干電池電源電動勢、內阻分別記為E、r，G 為表頭，其滿偏電流、內阻分別記為Ig、Rg.RT為滑動變阻器，其余電阻均為定值電阻.被測電阻(圖中未畫出)在“－”和“＋”接線柱之間連入電路.

圖2

圖3

以圖2串聯式歐姆表為例，測量前，需要進行歐姆調零，“－”和“＋”接線柱之間連入一段導線，即兩表筆短接調零.調節RT＝R使表頭滿偏，此時，根據閉合電路歐姆定律有，其中R＋r＋Rg為歐姆表的內阻，也稱該內阻為中值電阻，即R中＝R＋r＋Rg.此后RT的值不再調整.當被測電阻Rx串聯接入回路，流經表頭的電流為由此可以看出，對于給定的歐姆表，Ix與Rx有一一對應關系.將表頭的電流刻度Ix改為與之對應的Rx的阻值，即為歐姆表.

圖3所示的并聯式歐姆表，虛線框部分等效為一個改裝的靈敏電流計表頭.測量前，同樣需要調節RT使表頭滿偏，與上面的分析類似，根據閉合電路歐姆定律，Ix與Rx有一一對應關系.將表頭的電流刻度Ix改為與之對應的Rx的阻值，即為歐姆表.

任何測量結果都不可能絕對準確.測量值跟被測物理量的真實值之間總會有差異，這種差異叫作誤差.

測量值與真實值之差的絕對值，稱為絕對誤差.絕對誤差與測量值的比值稱為相對誤差.相對誤差一般用百分數來表示.

問題2 歐姆擋的相對誤差與哪些因素有關?

以串聯式歐姆表為例，歐姆擋測電阻的測量值

由式①可知，電阻測量誤差主要需考慮兩點，一是歐姆表中值電阻R中的誤差，二是電流表的測量誤差ΔIx.歐姆表中值電阻R中的誤差主要由電源電動勢和內阻的變化引起，一般情況下該因素引起的測量誤差可以忽略不計.所以下面主要針對電流表的測量誤差ΔIx進行分析.

對式①求微分可得

由式③可以看出，歐姆表電阻測量的相對誤差和電流的絕對誤差、電流測量值Ix，以及滿偏電流Ig有關.

問題3 歐姆擋為什么“中值”附近相對誤差小?

在表頭精確度一定情況下，電流測量值的絕對誤差僅由表頭本身決定，可以認為不變，即|ΔIx|一定.那么根據式③可知當指針指在中值位置時，即Ix＝Ig2時相對誤差最小.

用圖4表達式③電阻測量的相對誤差與電流測量值關系.

圖4

為了在測量不同大小電阻阻值時指針都能指在中值附近，需要改變中值電阻，也即內阻阻值.圖2中串聯式歐姆表改變中值電阻，需要改變電源電動勢.而圖3中改變中值電阻，可以改變虛線框內的等效表頭的滿偏電流，并不一定要改變電源電動勢，實際歐姆表內部大多采用圖3的連接方式.

(完)