不等式中的“變”與“不變”

文／陳 緩

方程和不等式是刻畫數(shù)量關(guān)系的重要模型，包含方程與方程組、不等式與不等式組兩個(gè)方面，也是中考的必考知識(shí)?？傮w而言，主要有三種考查方式：一是概念，二是解法，三是應(yīng)用。下面我們以不等式為例，從教材例題出發(fā)，結(jié)合中考題，對(duì)解題方法與技巧進(jìn)行剖析，以不變應(yīng)萬(wàn)變，在不等式的世界中乘風(fēng)破浪。

例（蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第136頁(yè)）解不等式組

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法，由①，得x≥1，由②，得x＞2。再利用數(shù)軸的數(shù)形結(jié)合或口訣“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無(wú)解”來確定不等式組的解集。

解：解不等式①，得x≥1。

解不等式②，得x＞2。

所以，不等式組的解集是x＞2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的解法，先求出每一個(gè)不等式的解集，然后根據(jù)不等式解集的確定方法，確定兩個(gè)不等式解集的公共部分。

變式1（2021·江蘇南通）若關(guān)于x的不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）。

A.7＜a＜8 B.7＜a≤8

C.7≤a＜8 D.7≤a≤8

【分析】首先確定一元一次不等式組的解集為4.5＜x≤a，然后根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，來確定a的取值范圍。

解：解不等式2x+3＞12，得x＞4.5，解不等式x-a≤0，得x≤a。由于原不等式組恰有3個(gè)整數(shù)解，所以，不等式組的解集是4.5＜x≤a，且整數(shù)解為5，6，7。所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是7≤a＜8。故選C。

【點(diǎn)評(píng)】本題重在考查不等式組的解法，同學(xué)們要準(zhǔn)確地得到不等式組的整數(shù)解和a的取值范圍，一定要仔細(xì)判斷是否取端點(diǎn)值。悄悄告訴你，將端點(diǎn)值代入檢驗(yàn)是避免錯(cuò)誤的好方法！

變式2（2020·山東濱州）若關(guān)于x的不等式組無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

【分析】首先求出每個(gè)不等式的解集，x＞2a和x≤2，利用數(shù)軸或口訣“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小是無(wú)解”得到a≥1。

解：解不等式x-a＞0，得x＞2a；解不等式4-2x≥0，得x≤2。因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解，所以2a≥2，即a≥1。

【點(diǎn)評(píng)】此題是探究一元一次不等式組無(wú)解的問題。正確求出每個(gè)不等式的解集是基礎(chǔ)。結(jié)合數(shù)軸利用數(shù)形結(jié)合思想或口訣解答此題是關(guān)鍵，也是同學(xué)們?cè)诮庖辉淮尾坏仁浇M時(shí)應(yīng)具備的基本技能，大家要牢牢掌握。

變式3（2021·江蘇無(wú)錫）為了提高廣大職工對(duì)消防知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識(shí)，某單位工會(huì)決定組織消防知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，本次活動(dòng)擬設(shè)一、二等獎(jiǎng)若干名，并購(gòu)買相應(yīng)獎(jiǎng)品?，F(xiàn)有經(jīng)費(fèi)1275元用于購(gòu)買獎(jiǎng)品，且經(jīng)費(fèi)全部用完，已知一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)與二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)之比為4：3。當(dāng)用600元購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品時(shí)，共可購(gòu)買一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品25件。

（1）求一、二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)；

（2）若購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購(gòu)買方式？

【分析】（1）設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元，則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，可得到關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可得出x的值，再將其代入4x、3x中便可求出單價(jià)；（2）設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，可列出關(guān)于m、n的二元一次方程，結(jié)合m、n均為正整數(shù)且4≤m≤10，即可得出購(gòu)買方案。

解：（1）設(shè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為4x元，則二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為3x元。根據(jù)題意，得

解這個(gè)方程，得x=15，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解，且符合題意，

∴4x=60，3x=45。

答：一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為60元，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品單價(jià)為45元。

（2）設(shè)購(gòu)買一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品m件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品n件。

根據(jù)題意，得60m+45n=1275，

∵m、n均為正整數(shù)，且4≤m≤10，

∴共有3種購(gòu)買方案。

答：共有3種購(gòu)買方案。方案一：購(gòu)買4件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，23件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品；方案二：購(gòu)買7件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，19件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品；方案三：購(gòu)買10件一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品，15件二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程、二元一次方程、一元一次不等式的綜合應(yīng)用。解題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)問題中的等量關(guān)系，正確列出分式方程和二元一次方程，找出符合條件的整數(shù)解。此外，同學(xué)們要注意把握細(xì)節(jié)，對(duì)于分式方程的解，要記得檢驗(yàn)。