典例剖析 有的放矢

文／張 麗

解決方程與不等式類問題，要充分理解方程與不等式的概念，掌握方程與不等式的解法，會用方程或不等式解決實際問題。本文以三個例題為載體，剖析易錯點，有的放矢，希望能幫助同學們更好地理解“方程與不等式”的相關內容。

例1已知關于x的方程kx2-2x+1=0有實數根，則k的取值范圍是_____。

【錯解剖析】部分同學認為這是關于x的一元二次方程，根據方程有實數根，利用根的判別式大于等于0，求k的取值范圍。產生錯誤的原因是對一元二次方程的概念、基本形式認識不到位。只有一元二次方程中含未知數的二次項的系數不為零，才能保證最高次項是二次項，當二次項的系數含參數時，要注意需分類討論。

【解法思路】此題未指明是關于未知數x的幾次方程。觀察方程kx2-2x+1=0，發現x2的系數k是否為零，決定了此方程的類型。①當k=0時，方程-2x+1=0為一元一次方程；②當k≠0時，方程kx2-2x+1=0為一元二次方程。

【正解】①當k=0時，方程-2x+1=0為一元一次方程，符合題意；

②當k≠0時，方程kx2-2x+1=0為一元二次方程，

由題意可得（-2）2-4k≥0，

即k≤1且k≠0。

綜上所述，k的取值范圍是k≤1。

例2若關于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（ ）。

A.a≤-3 B.a＜-3

C.a＞3 D.a≥3

【錯解剖析】部分同學易列出不等式3a+2＜a-4，漏掉3a+2=a-4這種情況。同學們在復習時應有意識地強化臨界值意義的練習，并對不同情況做變式訓練。例如：關于x的不等式組無解，求a的取值范圍；關于x的不等式組有3個整數解，求a的取值范圍等。此類型題均需考慮臨界值是否符合題意。

【解法思路】此題考查的是不等式組的含參數問題，解法不唯一。下面列舉兩種常見方法。方法一：從解不等式組的角度入手，即先求出不等式組的解集，把不等式的解集通過數軸表示出來，根據不等式組無解求出a的范圍，此處需重點考慮臨界值，即3a+2=a-4是否符合題意；方法二：從函數圖像的角度入手，即分別畫出函數y1=3a+2，y2=a-4的圖像，兩線相交于點（-3，-7），觀察函數圖像可得a的取值范圍。這兩種方法均借助“形”來求解，即用數軸或函數圖像表示出不等式組的解集。數形結合，形象直觀。

【正解】由題意可知，3a+2≤a-4，解得a≤-3。故選A。

例3將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果。問這一箱蘋果有多少個？小朋友有多少人？

【錯解剖析】設有x個小朋友，列出不等式組產生錯誤的原因在于審題不仔細，條件“有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果”的意思是“有（x-1）個小朋友分到8個蘋果，還有一個小朋友分到蘋果的數量是大于等于1，小于等于8的正整數”。用不等式（組）解決實際問題，要理清題意，抓住題目中表示不等關系的關鍵詞“至多”“至少”“不超過”“不到”等，找出不等關系，列出不等式（組），最后還要檢驗解的實際意義。

【解法思路】此題考查的是用一元一次不等式（組）解決實際問題，先設未知數（設小朋友有x人），根據“若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果”列出代數式，蘋果共有（5x+12）個，再根據“若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果”找到兩個不等關系，列出不等式組求解，最后要考慮實際意義。

【正解】設有x個小朋友。

根據題意，得

因為x為正整數，所以x=5或x=6。

當x=5時，5x+12=37；

當x=6時，5x+12=42。

答：有5個小朋友，37個蘋果或者有6個小朋友，42個蘋果。