注重典型 掌握本質

文／何君青

在近些年的中考中，各地普遍從不同側面、不同角度對方程與不等式知識進行比較全面、系統的考查。大部分試題通過直接考查方程與不等式的意義與解法，突出對基礎知識與基本技能的考查；通過設置現實問題情境，考查同學們列方程與不等式解決實際問題的能力，突出對數學建模和數學應用的考查；通過設置綜合性問題，考查同學們對方程與不等式的靈活運用，突出對方程思想的考查。本文就以一些典型的考題為例進行剖析，以期對同學們的學習有所幫助。

一、方程與不等式解法的考查

方程與不等式的解法是初中數學的主要工具之一，是數學的基礎知識和基本技能，各地大部分采用直接考查的方式對其進行考查。考題主要涉及一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式（組）等五種類型。

例1解方程：

解：方程兩邊同時乘12，

得4（2x+1）-3（x-2）=12。

去括號，得8x+4-3x+6=12。

合并同類項，得5x=2。

【點評】本題是對一元一次方程的解法進行考查。一般情況下，解一元一次方程的五個步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1。要注意的是：在“去分母”環節，不要漏乘；在“移項”環節，要變號。

例2

解法1：由①，得x=-3y-1。③

將③代入②，得3（-3y-1）-2y=8。

解這個方程，得y=-1。

將y=-1代入③，得x=2。所以，原方程組的解是

解法2：①×3，得3x+9y=-3。③③-②，得11y=-11。

解這個方程，得y=-1。

將y=-1代入①，得x=2。

【點評】本題是對二元一次方程組的解法進行考查。“消元”是解多元方程組的思想，一般情況下，解二元一次方程組有兩種常用的方法：代入消元法、加減消元法。

例3解方程

解：方程兩邊乘（x-1）（x+1），

得x（x+1）-（x-1）（x+1）=3。

解得x=2。

檢驗：當x=2時，（x-1）（x+1）≠0。

所以，原分式方程的解為x=2。

【點評】本題是對分式方程的解法進行考查。一般情況下，解分式方程的步驟是：換（將分式方程轉換成整式方程）、解（解整式方程）、驗（檢驗得到的解是否為增根）。要注意的是：分式方程轉換成整式方程的過程不一定是等價變形，故而最后一定要驗根。

例4解方程：x2-2x-3=0。

解法1：移項，得x2-2x=3。

配方，得x2-2x+12=3+12，（x-1）2=4。

由此可得x-1=±2，

x1=3，x2=-1。

解法2：將x2-2x-3因式分解為（x-3）（x+1），得（x-3）（x+1）=0。

由此可得，x1=3，x2=-1。

【點評】本題是對一元二次方程的解法進行考查。“降次”是解高次方程的思想，一般情況下，解一元二次方程有這些常用方法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。

例5解不等式組

解：解不等式①，得x≤1。

解不等式②，得x＞-2。

所以，不等式組的解集是-2＜x≤1。

該不等式組的整數解是-1，0，1。

【點評】本題是對一元一次不等式組的解法進行考查。不等式組中每一個不等式解集的公共部分即為該不等式組的解集，故而在解不等式組時，先要求出每一個不等式的解集。

二、方程與不等式應用的考查

各地普遍創設情境，以實際應用的方式，考查列方程或不等式解決實際問題的能力。我們要特別關注的是，部分試題會要求利用方程或不等式的結果，對實際問題作出判斷與預測，或對實際問題設計解決方案。

例6彭老師到超市購買大米。第一次按原價購買，用了105元。幾天后，遇上這種大米8折出售，他用140元又買了一些，兩次一共購買了40kg。這種大米的原價是多少？

解：設這種大米的原價為每千克x元。

解這個方程，得x=7。

經檢驗，x=7是所列方程的解。

答：這種大米的原價為每千克7元。

【點評】本題從生活中“購買大米”的實際問題出發，貼近生活，考查列分式方程解決問題的能力，具有較好的推廣性。同學們要注意的是：用分式方程解決實際問題，最后依然需要檢驗。

例7用一條長20cm的繩子能否圍成一個面積為30cm2的矩形？如果能，說明圍法；如果不能，說明理由。

解：設矩形的長為xcm，則寬為（10-x）cm。

根據題意，得x（10-x）=30，

即x2-10x+30=0。

因為Δ=b2-4ac=102-4×30=-20＜0，

所以此一元二次方程無實數根。

答：用一條長20cm的繩子不能圍成一個面積為30cm2的矩形。

【點評】題目在考查列一元二次方程的同時，更關注對實際問題的理解能力的考查。同學們需注意的是：在判斷“幾何圖形是否能夠構成”時，若能構成，則能算出具體的值；若不能構成，則不能找到一個符合條件的值，或是無實數根，或是算出的根不在題目的實際范圍內。

例8某地計劃對矩形廣場進行擴建改造。如圖1，原廣場長50m，寬40m，要求擴充后的矩形廣場長與寬的比為3∶2。擴充區域的擴建費用為每平方米30元，擴建后在原廣場和擴充區域都鋪設地磚，鋪設地磚費用為每平方米100元。如果計劃總費用為642000元，擴充后廣場的長和寬應分別是多少米？

圖1

解：設擴充后廣場的長為3xm，寬為2xm。

根 據 題 意，得3x·2x·100+30（3x·2x-50×40）=642000。

解得x1=30，x2=-30（不合題意，舍去）。

所以3x=90，2x=60。

答：擴充后廣場的長和寬應分別為90m和60m。

【點評】本題以“廣場改造”為背景，考查列一元二次方程解決實際問題的能力。同學們首先應根據題意表示出鋪設地磚區域和改造廣場的費用，再根據題目中存在的等量關系，列出方程，算出相應的結果。同學們在遇到此類問題時需特別注意，應檢查算出的結果是否符合實際情況，若不符合，需要舍去。