關于復分裂四元數的復矩陣表示及其求逆方法

鄧勇

(喀什大學數學與統計學院，新疆喀什 844000)

0 引言

Hamilton 對數學科學最杰出的貢獻之一就是在1843 發現了實四元數.正是因為有了實四元數，所以才找到了一種將復數推廣到更高維空間的方法.實四元數集可表示為

其中，i2=j2=k2=-1,且ijk=-1.實四元數集是一個4 維Clifford 非交換可除代數[1，2].在實四元數誕生不久，James Cockle 于1846 年又引入了實分裂四元數集

其中，i2=-1，j2=k2=1,且ijk=1.實分裂四元數集也是一個4 維Clifford 非交換代數.但與實四元數代數不同的是，實分裂四元數集包含零因子、冪零元和非平凡的冪等元[3].此外，任何一個實分裂四元數均可由2×2 復矩陣表示[4].由于實四元數乘法的非交換性，所以實四元數矩陣理論已成為研究非交換代數的熱點之一.文獻[5]對實四元數及其矩陣作了簡要討論；文獻[6，7]分別研究了實四元數矩陣的相似性、標準形和特征值；文獻[8]給出了實四元數矩陣在復數域上依然成立的一些定理.

實分裂四元數及其矩陣理論是近幾年才流行起來的研究內容，它為解決量子力學、量子場論、空間幾何學、深度學習、物理學、編碼理論、信號處理等領域的數值計算、空間旋轉等問題提供了有力工具[9，10].文獻[11，12]分別研究了實分裂四元數的矩陣方程.

本文研究復分裂四元數，并用i表示復數單位，i，j，k表示四元數單位.

1 復分裂四元數

定義1.1以復數為系數的分裂四元數q=q0+q1i+q2j+q3k(q0,q1,q2,q3∈C)稱為復分裂四元數，其中復數單位和四元數單位的乘法規則如下：

表示所有復分裂四元數組成的集合.

定義1.2設q=q0+q1i+q2j+q3k∈，稱Sq=q0和Vq=q1i+q2j+q3k分別為q的標量部分和向量部分.若Sq=0，則稱q為純復分裂四元數；若Vq=0，則q成為一個復數.

對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈，其中ql=al+ibl(al,bl∈R,l=0,1,2,3).q還有另外兩種表示形式：

由于復分裂四元數q的復形式可借助實分裂四元數的特性，所以在各種問題的討論中復形式的運用更為常見.

定義1.3設p=p0+p1i+p2j+p3k，q=q0+q1i+q2j+q3k∈HCS.若pl=ql(l=0,1,2,3)，則稱p和q相等，記作p=q.稱

分別為復分裂四元數p與q的和、積以及c與p的標量積.顯然，復分裂四元數的加法、乘法和標量積關于封閉.

復分裂四元數與實分裂四元數的區別之一是，它有三種不同類型的共軛，即

分別為q的四元數共軛、復數共軛和全共軛.

2 基本代數性質

命題2.1對?p,q∈和?c∈C，下列性質成立：

由于復分裂四元數環是一個非交換代數，所以它具有以下一些有別于復代數的性質，即

命題2.2對于?p,q∈.一般地，下列性質成立：

證明取p=(1+i)j，q=(1+i)+(1+i)j∈.通過直接計算即可驗證.

定理2.1對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈，它總可以用一個4×4復矩陣來表示.

證明定義上的映射

不難證明，此映射是線性同構映射，并且基元1,i,j,k在fq下的作用結果為

事實上，對?q=q0+q1i+q2j+q3k∈，再定義映射

由于fq是同構映射，進而χ也是同構映射，因此本質上相同，即由此可見，研究復分裂四元數的問題可等價地轉化為處理相應的4×4復矩陣.

定義2.1設q=q0+q1i+q2j+q3k∈，稱

證明（1）和（3）的證明可由定義2.1 直接驗證獲得.下面只給出（2）的證明.由于

因此，由復分裂四元數的復矩陣表示，可得

3 可逆性判定

由于復分裂四元數環是非交換代數，所以一般地，有qp≠pq.然而，如下命題卻成立.

命題3.1設q,p∈.若qp=1，則pq=1.

證明令q=q0+q1i+q2j+q3k，p=p0+p1i+p2j+p3k(ql,pl∈C，l=0,1,2,3).于是，結合命題2.3的證明可得

將這四個方程合并為一個矩陣方程

由于矩陣方程（*）是一個復矩陣方程，所以其中的兩個復矩陣可交換，即（*）也可寫為

由(**)又可以得到如下四個方程

命題證畢.

定理3.1設q=q0+q1i+q2j+q3k∈.于是，qC可逆?q可逆.

證明“?”若qC可逆，則存在(qC)-1∈M4×4(C)，使得

因det(qC)=13 ≠0，故qC可逆，并且

“?” 按照必要性證明的推導方法，不難獲證，在此從略.

實際上，定理3.1 的證明過程給出了求可逆復分裂四元數逆的方法，具體步驟歸納如下：

（1）寫出q的復矩陣表示qC；

（2）求出(qC)-1；

（3）取(qC)-1第一列的元素p11,p21,p31,p41(∈C)，于是

4 數值算例

例求復分裂四元數q=1+(1 -i)i+(-1+2i)j+(1+2i)k的逆.

解令q=q0+q1i+q2j+q3k，其中q0=1，q1=1 -i，q2=-1+2i，q3=1+2i.于是，q的復矩陣表示為