數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)的教學(xué)策略研究

謝盛富

摘? ?要：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)和感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的聯(lián)系，用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累實踐經(jīng)驗，認(rèn)識數(shù)學(xué)建模在科學(xué)、社會、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域的作用，培養(yǎng)應(yīng)用意識和實踐能力，形成創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用意識;數(shù)學(xué)建模;實踐能力

高中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，是學(xué)生數(shù)學(xué)理解和運用的高度體現(xiàn)，它包含數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思維、個人能力與學(xué)習(xí)習(xí)慣等各方面的綜合素質(zhì)。數(shù)學(xué)自身具備高度的抽象性、邏輯性，它對學(xué)生的邏輯推導(dǎo)、邏輯運算、空間思維等能力有相當(dāng)高的要求，這也就是數(shù)學(xué)對學(xué)生思維的反向塑造能力，同時這種能力也可在其他學(xué)科上延伸，拓展學(xué)生建模思維能力的空間。

“授人以魚，不如授人以漁”，教師需要充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)特點與學(xué)習(xí)能力，在此基礎(chǔ)上制定科學(xué)合理的教學(xué)方法，有針對性地培養(yǎng)學(xué)生 [ 1 ] 。 對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，并用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型與建立數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的能力，這也是高考要求的重要內(nèi)容。在高考考查時，通過對大數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，從模型建立、檢驗?zāi)Ｐ偷确矫嬖O(shè)置問題，強調(diào)用數(shù)學(xué)知識、思想方法解決問題，從而加強對數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力考查，使數(shù)學(xué)模型的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到極大拓展。

1? 展現(xiàn)核心概念的產(chǎn)生過程

在相關(guān)數(shù)學(xué)知識概念教學(xué)時，教師可結(jié)合實際，向?qū)W生拋出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動去思考，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念故事成的整個過程是如何產(chǎn)生、提出者的經(jīng)歷、所要定義和解決的問題、概念最終是如何形成和確定的，以及在相關(guān)領(lǐng)域的適用性。從不同方面、不同階段，向?qū)W生全面展示，學(xué)生在對概念的接受和吸收上，領(lǐng)悟與把握數(shù)學(xué)思維與知識在實際解決問題中的模型思想，以及這種建模思維在實際運用上的重要性。如在講述極限理論時，引入“繩子半之半不盡”的故事，讓學(xué)生融入其中，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模對解決實際問題的可行性和研究價值。再如，在實際生活中菜市場中某類商品的供銷問題，通過相關(guān)的實際參數(shù)構(gòu)建供需函數(shù)y=f（x），通過建立實際問題的數(shù)學(xué)模型，明確后續(xù)時間的商品供應(yīng)需求。

2? 展現(xiàn)定理公式的推導(dǎo)過程

數(shù)學(xué)各類概念、定理和公式等，其形成的原理和提出過程思考的模式是完全不同的。這也涉及到數(shù)學(xué)研究的工具與方法，比如歸納法與演繹法、分析法與綜合法，以及因果分析法等。這些方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的幾個特點：①高度的概括性和抽象性;②嚴(yán)密的邏輯性和結(jié)論的精確性;③放之四海而皆準(zhǔn)的普遍性和可操作的應(yīng)用性。從這些基本的方式方法中，體現(xiàn)出了比較重要的數(shù)學(xué)模型思維類型，比如變抽象為形象直觀的思維、正向和逆向思維、發(fā)散思維、定勢思維等，讓不同的概念對應(yīng)不同的模型思維類型，從而讓學(xué)生更全面的掌握自我思維訓(xùn)練的要點。數(shù)學(xué)課本中許多定理與公式都是高度簡化和抽象的，教師在向?qū)W生教授這些定理公式時，需要做好這些定理公式的背景準(zhǔn)備，在正式講授與之相關(guān)的例題時，可介紹定理公式的提出者，講述他在提出該定理公式時，碰到的問題、演算的過程、如何獲得結(jié)論。在老師對定理公式講述中，學(xué)生能全方位感受到形成原理等思維是如何一步一步建立起來，并將這種思維成果化。對定理公式的歷史脈絡(luò)、思維流程的清晰認(rèn)識，也會讓學(xué)生在形成原理、公式等的數(shù)學(xué)建模之路上強化自我思維能力的鍛煉[ 2 ] 。如在推導(dǎo)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，引導(dǎo)學(xué)生提煉、歸納出an+1=an+f（n）型、an+1=an·f（n）型，并賦予名稱“累加法”、“累積法”，建立了數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好鋪墊。又如在推演錐體體積公式時，引入等密度物質(zhì)在不同容器中的體積恒定性，讓學(xué)生在實踐中感受公式的推導(dǎo)。

3? 建立數(shù)學(xué)模型解決問題

教師在授課前，可根據(jù)課程學(xué)習(xí)進(jìn)度，創(chuàng)設(shè)生活實際情境，擬編成學(xué)生可以解決的例題，這也能考核教師對相關(guān)理論的掌握水平。現(xiàn)實社會中各種要素是自然社會決定的，是人難以進(jìn)行干預(yù)和控制的，如何將這種實際參數(shù)樣本整理為研究對象的原型，再將這個原型抽象化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的模型思維。通過這樣的抽象和簡化過程，讓具體的事物用數(shù)學(xué)語言呈現(xiàn)在學(xué)生面前，就會加深學(xué)生對相關(guān)問題和研究對象的認(rèn)知。例如，等額本息貸款和等額本金貸款，哪一種對貸款者有利？一副撲克牌是出現(xiàn)順子概率大，還是出現(xiàn)金花的概率大？三角形法則在力學(xué)上如何具體應(yīng)用？通過這種實戰(zhàn)化的問題引導(dǎo)，讓學(xué)生充分融入實際問題思考中。為保障學(xué)習(xí)效果的充分性，教師也可將學(xué)生分成不同學(xué)習(xí)小組，針對例題進(jìn)行討論，讓學(xué)習(xí)成果進(jìn)一步擴大與完善。通過不同想法和思維的碰撞，讓學(xué)生相互吸收和反駁不同觀點，再形成自己的觀點和思維。

4? 從常見模型滲透數(shù)學(xué)建模

比如，長方體是立體幾何中的重要數(shù)學(xué)模型，許多問題可以放在長方體中求解。例如，（2021年廈門市3月份質(zhì)檢第16題）已知三棱錐A-BCD的四個頂點A，B，C，D均在O球的球面上，AB=AC=AD，ΔBCD是邊長為4的等邊三角形，M，N分別是AB、BC，的中電，DM⊥MN，則AB=________，球O的表面積是__________。

從題干“AB=AC=AD”“DM⊥MN”“等邊三角形”可以獲知，三棱錐可以鑲嵌在正方體中，AB，AC，AD三者兩兩互相垂直，從而很容易破解此題。

又如，在A-BCD三棱錐中，AB=CD=，AC=BD=，AD=BC=，求該棱錐外接球的體積。這道題題干關(guān)鍵信息是“三組的兩對棱相等”，這與“長方體相對面的對角線長相等”相吻合，從而構(gòu)造長方體求解問題。

再如，在比較大小中，根據(jù)所給表達(dá)式的特征構(gòu)造函數(shù)模型，再利用單調(diào)性比較大小。例如，（2021八省聯(lián)考適應(yīng)性考試第8題）已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則（? ? ?）

A. c

從題中關(guān)于a、b、c的三個等式觀察特征，尋求共同點，構(gòu)造函數(shù)f（x）=，利用導(dǎo)數(shù)判斷出f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)值相等，確定a，b，c的大小關(guān)系。

高中數(shù)學(xué)中還有很多這樣的數(shù)學(xué)模型，如由“兩未知數(shù)之和與之積”構(gòu)造一元二次方程;構(gòu)造斜率、截距、三角形和復(fù)數(shù)等模型來求解有關(guān)數(shù)學(xué)問題。

5? 數(shù)學(xué)建模對高中教學(xué)的重要意義

在開展一系列的數(shù)學(xué)建模活動過程中，從活動前期的準(zhǔn)備、活動中的探究和合作、活動后的收獲等，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過程，真實地解決一個實際問題，積累做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗，關(guān)注過程，在彰顯不同個性的同時，尋求共性，培養(yǎng)團(tuán)隊協(xié)作精神。在評價學(xué)生活動的過程中，可以通過多元評價，使不同學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)得到不同的發(fā)展;關(guān)注活動的過程，關(guān)注學(xué)生的差異和個性，活動前后的心理變化;提出的問題是否有“新意”，求解過程是否有“創(chuàng)意”，探究過程是否有深度和廣度，結(jié)果是否有特色，興趣動力是否增強等等。

任何建模過程需經(jīng)歷模型準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析、檢驗等過程，最后還應(yīng)具備模型應(yīng)用與推廣等特點，使得建模更具實際意義。 高中數(shù)學(xué)知識儲備為數(shù)學(xué)建模提供了解題工具，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)能力是需要不斷引導(dǎo)和訓(xùn)練的，而高中學(xué)生學(xué)習(xí)緊張，更需要不斷強化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)與思維能力，教師要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)教研中，不斷開拓思路，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力夯實基礎(chǔ)而創(chuàng)設(shè)新方案、新情境，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，有效滲透學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)勢在必行。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊小煊.基于“三教”理念下學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的教學(xué)研究[D].貴州：貴州師范大學(xué)，2019。

[2] 張曉婷.構(gòu)建模型 回歸本真——高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)模型培養(yǎng)策略[J].新課程，2020（15）：124。

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