巧用對稱解決立體幾何最值問題

蘇 寧

(廣東省深圳科學高中 518116)

最值問題是高中教學的一個重要內容，最值一詞意味著需要在可選擇且較復雜的情況里進行分析計算，從而求得符合題目要求的答案，這是學生在解決最值問題時倍感困難之所在.結合最值內容考查時的綜合性比較強的特點，最值內容的教學不是在一節課或者幾節課中就可以讓學生完全掌握的，因此，教師應貫徹在整個高中數學教學過程中.因高考涵蓋模塊知識較多，本文只選擇立體幾何問題中的最值來研究，而且只針對一類特殊處理方法應用下的立體幾何最值求解來研究.

結合近幾年各省份的高考模擬題真題，可以確定立體幾何中的最值往往涉及長度或距離、周長或面積、體積、角度等方面.依據2007年普通高等學校招生全國統一考試新課程標準數學科考試大綱中提出在立體幾何點、線、面之間的位置關系學習中形成對空間形式的觀察、分析、抽象的空間想象能力的要求，立體幾何問題在解決過程中應以空間幾何體為對象，充分認識幾何體的結構特征.如果在立體幾何最值求解問題中，能夠將幾何體的結構特征融入對稱性質解決最值問題，不僅能提高解題效率，簡化復雜的運算，還能較好地突破最值這一重難點問題.

1 對稱性的理解

對稱的含義就是和諧、美觀.在現實世界中，對稱形式各樣，無處不在.段學復說“對稱，照字面來講，就是兩個東西相對而又相稱(或者相仿，相等).因此，把這兩個東西互換一下，好像沒動一樣.”數學是研究現實世界中的數量關系與空間形式的一門科學，對稱廣泛存在于代數與幾何之中.數學教學融入對稱的學習，既能揭示數學知識的本質，又能讓學生們感受數學之美，提升學生學習興趣和學習效果.特別地，幾何中融入對稱性，尤其是立體幾何，空間幾何體較多具備較好的結構特征，使用對稱性去分析問題、解決問題能更好地建立學生的“對稱觀”，因此，研究立體幾何中的對稱性解題絕對有必要.

2 對稱性在立體幾何最值中的應用

2.1 對稱在立體幾何長度、距離最值問題中的應用

例1O為單位正方體ABCD-A1B1C1D1側面ADD1A1的中心，在面ABCD上存在一點P，使得OP+PC1最短，求OP+PC1的最小值.

圖1

解析題目中P，Q兩點均是動點，作為空間兩條異面直線上的動點，研究它們的距離的最小值必然是BD，SC兩條異面直線的公垂線段，所以這個問題的關鍵是尋找公垂線段.

例3在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，CC1的中點，P是側面BCC1B1內一點，若AP1∥面AEF，求線段AP1長度的取值范圍.

解析本題可以首先根據面面平行獲取點P的運動軌跡在棱BB1，B1C1中點連接的線段上運動，如圖2所示.

圖2

2.2 對稱在立體幾何周長、面積最值問題中的應用

例4二面角α-l-β的大小為60°，點P到面α的距離為2，到面β的距離為3，A∈α,B∈β,求△ABP的周長的最小值.

圖3

解析根據球的對稱性確定四面體PABC體積取得最大值時點P的位置.當點P所在面與面ABC垂直時可根據體積的大小求出球的半徑，繼而求出球的表面積.

例6在單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點P，使得AP+D1P最短，求其最小值.

2.3 對稱在立體幾何體積最值問題中的應用

例7如圖4，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a，其中a,c為常數，求四面體ABCD體積的最大值.

圖4 圖5

解析因為AB+BD=AC+CD=2a，所以AB=BD=AC=CD=a時，四面體ABCD關于AD以及BC的中點E確定的平面是對稱的，此時體積最大，如圖5.

2.4 對稱在立體幾何其他最值問題中的應用

例8如圖6，點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的側面BCC1B1及其邊界上運動，并保持AP⊥BD1，若正方體邊長為2，則|PB|的取值范圍.

圖6

根據以上內容的陳述可知，解決立體幾何最值問題時，教師可以融入對稱思想，不斷在教學中滲透，能夠較快解決一些問題，使問題處理起來簡潔、清晰，提高學生分析問題、解決問題的能力，提高學生的審美能力.