構建轉化關系 巧解多個三角形

倪 軍

(安徽省和縣第一中學 238300)

利用正、余弦定理求解多個三角形問題，一般會以平面幾何為背景進行命題，對于此類問題一般需要通過邊、角或向量知識為紐帶進行求解.

1 以邊為紐帶，巧解多個三角形

在四邊形中，通過連接對角線，則可以構造成兩個三角形，在三角形中，取其中一邊上一點與其該邊的頂點相互連接，則會出現兩個小三角形和一個大三角形，解決此類問題，一般可以通過求解其公共邊進行解決.

在△ABC中，由余弦定理，得

AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7.

(2)設∠ACD=α，

圖1

在△ABC中，

點評化邊為角與和角或差角公式的正向或反向多次聯用是常用的技巧，對于多個三角形的求解問題，通常可以先在一個三角形中進行解三角形，求出公共邊的長或表達式，然后再根據另外一個三角形建立等式關系去求解題目所設置的問題.

2 以角為紐帶，巧解多個三角形

在三角形中，取其中一條邊上的一點，與該對邊的頂點相互連接，則可構成兩個三角形，其中這條邊的兩側所對應的兩個互為補角的角所對應的余弦值互為相反數，因此可利用余弦定理分別在兩個三角形中去求解這兩個角的余弦值，再根據兩角間的關系建立等式.

例2 (2021年山東滕州一中月考)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a(sinA+sinB)=2bsinB.

(1)證明：A=B；

解析(1)因為a(sinA+sinB)=2bsinB，

所以由正弦定理，得a(a+b)=2b2.

整理,得(a+2b)(a-b)=0.

因為a+2b>0，所以a=b，即A=B.

(2)設BD=x，則AD=2x.

由余弦定理,得

因為∠CDA=π-∠CDB，

解得x=2.

所以c=AB=3BD=6.

點評根據∠CDA=π-∠CDB和余弦定理將邊化角是迅速解答本題的關鍵，對于此類問題，在熟練運用余弦定理及其推論的基礎上，還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.

3 以向量為紐帶，巧解多個三角形

平面向量的三種線性運算的結果仍為向量，在三種線性運算中，加法是最基本、最重要的運算，減法運算與數乘運算都以加法運算為基礎，都可以歸結為加法運算．在多個三角形中就可以通過線性運算和向量的數量積構建等式關系，其中，余弦定理就可以通過向量方法進行推導.

(1)求A；

(2)若b=2c，求△ABC的面積.

解析(1)因為(sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC，由正弦定理，得

a2-b2+bc=c2.

(2)因為AD為△ABC的中線，

兩邊同時平方,得

故28=c2+b2+bc.

因為b=2c，所以c=2，b=4.

點評進行向量運算時，要盡可能轉化到三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來解決．解決兩個三角形的解三角形問題，一般要用公共邊的向量表示其它邊，再進行平方，進而結合向量知識與余弦定理的關系進行求解.

跟蹤訓練△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．

因為S△ABD=2S△ADC，∠BAD=∠CAD，

所以AB=2AC.

(2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，

在△ABD和△ADC中，由余弦定理,得

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB，

AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC，

故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

由(1)知AB=2AC，故AC=1.