一題多解 一題多變
——例析含參導(dǎo)數(shù)問題解題策略

楊憲偉

(陜西省榆林市第十中學(xué) 719000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》(2017年版2020年修訂)提出，高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(簡稱“四基”)；提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)．數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是落實“四基”“四能”的重要過程，教師要積極開展一題多解和一題多變活動，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、克服弱點、攻破難點、解決疑點，總結(jié)分析問題、解決問題的策略．

1典例分析

例1已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切，求a的值.

策略1設(shè)切點，方程思想.

設(shè)切點的橫坐標為m，則m+1=ln(m+a).

①

即m+a=1.代入①式，得m+1=0.

所以m=-1，a=2．

點評本法涉及的知識是必須掌握的基礎(chǔ)知識，蘊含的是解決此類問題的基本方法和基本思想，是變式引申的基礎(chǔ)和鋪墊．

策略2借圖象，幾何直觀.

曲線y=lnx在(1，0)處的切線為y=x-1，所以直線y=x+1與曲線y=ln(x+2)相切.故a=2．

點評本法從熟悉的一個知識結(jié)合函數(shù)圖象平移快速解決問題，是必需積累的基本活動經(jīng)驗．

2變式引申

變式1 已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是( ).

C．(0，1) D．(0，+∞)

策略3 半分離，數(shù)形結(jié)合.

因為函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，

所以f′(x)=lnx-2ax+1=0至少有兩個解.

即方程lnx=2ax-1至少有兩個解.

故函數(shù)y=lnx和y=2ax-1的圖象有兩個交點．

圖1

點評本法的主要策略就是分而治之，數(shù)形結(jié)合，這也是常見的處理含參問題的一種方法，我們稱之為“半分離，數(shù)形結(jié)合”．

策略4 不分離，分類討論.

①當a≤0時，g′(x)>0在(0，+∞)恒成立，f′(x)=lnx-2ax+1在(0，+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點，故不滿足條件；

策略5求值域，極限說明.

圖2

策略6 要證明，嚴謹找點.

如果作為解答題，要避開極限，可以找點用零點的存在性定理嚴謹證明．

點評本法也是常見的處理含參問題的一種方法，我們稱之為“不分離，分類討論”．若作為解答題，可以用極限思想解決問題，也可以通過找點用零點的存在性定理嚴格證明，但找點難度比較大，選取的時候要兼顧函數(shù)值計算簡單和滿足要求這兩條，有時甚至需要借助指對放縮加以說明．

策略7全分離，研究函數(shù).

圖3

策略8 遇困難，適當放縮.

點評這種方法主體是“全分離，研究函數(shù)”，若作為解答題，必須要繼續(xù)嚴謹證明．但是端點的函數(shù)值不確定時可以用極限或洛必達法則說明．事實上，函數(shù)y=lnx+1的增長速度比函數(shù)y=2x的增長速度慢，所以x→+∞時，h(x)→0．若要避開極限和洛必達法則，可以通過放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)．

變式2 已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點x1，x2(x1

策略9隱零點，整體代換.

所以f(x1)=x1(lnx1-ax1)<0．

而x2是方程lnx-2ax+1=0的解，

所以φ(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增.

點評本題中不能準確求出x2，但卻滿足恒等式，也就是說x2從理論上講是確定的，我們稱之為“隱零點”，處理這種問題的主要手段就是整體代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解，我們把這個過程稱為“隱零點代換”．

策略10 用導(dǎo)數(shù)，整體代換.

以上十種含參函數(shù)問題的解題策略中蘊含著的正是解決該類問題的基本方法和基本思想．在解題教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能，更要關(guān)注基本思想的滲透和基本活動經(jīng)驗的積累，要注重培養(yǎng)學(xué)生高階思維，提升學(xué)生綜合能力，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)．