巧變換破解不等式證明
——2021年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第22題

葉 欣

(北京市北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) 100022)

新高考數(shù)學(xué)試題的特點之一是注重知識的綜合應(yīng)用，通過在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題，使得對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度，突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實.以函數(shù)為背景考查不等式成立的證明就是上述指導(dǎo)思想的體現(xiàn)，也是高考熱點問題.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，其中導(dǎo)數(shù)更精確地刻畫了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、求曲線的切線等問題提供了有效的方法與途徑，方程與不等式是研究和解決有關(guān)函數(shù)問題的重要工具，同時在解決有關(guān)方程與不等式的問題時，又常以函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)為依據(jù)，并借助于函數(shù)的圖象解釋其幾何意義.

1 高考試題呈現(xiàn)

題目(2021年新高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷第22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

本題第(1)問是討論函數(shù)的單調(diào)性，由于函數(shù)中不含參數(shù)，因此不會涉及分類討論，屬于基本問題.第(2)問是給出一個新的等式并證明相關(guān)不等式成立的問題，要解決問題首先要根據(jù)等式特征合理變形，再利用已知函數(shù)的性質(zhì)完成不等式證明，難度較大，下面做重點分析.

2 常規(guī)解法展現(xiàn)

解法1 由條件blna-alnb=a-b，

因為當(dāng)x∈(0,e)時，f(x)>0；

當(dāng)x=e時，f(x)=0；

當(dāng)x∈(e,+∞)時，f(x)<0.

又fmax(x)=f(1)=1,所以結(jié)合單調(diào)性可知

x1∈(0,1)，x2∈(1,e)，k∈(0,1).

即證2

下面先證x1+x2>2.

因為2-x1>1，f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，f(x2)=f(x1)，所以x1+x2>2?x2>2-x1?f(x2)

令h(x)=f(x)-f(2-x)(0

則h′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-ln[x(2-x)].

因為x∈(0,1)，所以x(2-x)∈(0,1).

所以h′(x)>0恒成立.故h(x)單調(diào)遞增.

因此h(x)

所以x1+x2>2得證.

再證x1+x2

因為e-x1>1，f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減，f(x2)=f(x1)， 所以x1+x2f(e-x1)?f(x1)>f(e-x1).

下面可以仿照上面的過程完成證明(略).

3 其他解法探究

下面再來探討一下證明“x1+x2

思路1 采用比值換元法.

因為f(x2)=f(x1)，所以f(x2)=f(tx2).

即x2(1-lnx2)=tx2(1-lntx2).

可證ex≥x+1(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號).

即證lnt

易證其成立，所以x1+x2

因為f(x2)=f(x1)，所以f(x2)=f(tx2).

即x2(1-lnx2)=tx2(1-lntx2).

可證lnx≤x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號).

點評針對多變量的問題?？梢圆捎谩氨戎祿Q元”的方法，這里通過換元并利用等式f(x2)=f(x1)確立變量與新元的關(guān)系，最終將要證明的二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式，進(jìn)而利用指、對常用不等式ex≥x+1和lnx≤x-1完成證明.上面兩種方法的思路相同，但對于不等式的變形程度不同，使得后續(xù)證明略有差異.

思路2 采用零點轉(zhuǎn)化法.

解法4 令F(x)=f(x)-k，

則x1,x2是函數(shù)F(x)的兩個零點.

由(1)知F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減.

因為F(k)=f(k)-k=-klnk>0，所以x1

要證x1+x2

即證x2F(e-k).

即證0>F(e-k).

令q(x)=F(e-x)=f(e-x)-x(0

則q′(x)=-f′(e-x)-1=ln(e-x)-1<0.

所以q(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以q(x)

所以F(e-k)<0.

所以x1+x2

點評由于x1,x2為f(x)=k的兩個不等實根，通過平移，將條件轉(zhuǎn)化為x1,x2是函數(shù)F(x)=f(x)-k的兩個零點，使得借助函數(shù)F(x)的圖象和性質(zhì)解決問題成為可能.

思路3 采用切線放縮法.

解法5 因為當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)=x(1-lnx)>x.

又f(x1)=f(x2)=k，所以x1

又f(x)在點(e,0)處的切線為y=-x+e，

可證當(dāng)x∈(1,e)時，f(x)=x(1-lnx)<-x+e.

所以k<-x2+e.

即x2<-k+e.所以x1+x2

點評利用曲線的切線進(jìn)行放縮是解決有關(guān)不等式恒成立的一種方法，尤其是針對含有指數(shù)、對數(shù)的函數(shù)，利用曲線的切線進(jìn)行放縮往往能實現(xiàn)事半功倍的效果.

思路4 采用割線分析法.

解法6 因為當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)=x(1-lnx)>x.

又f(x1)=f(x2)=k，所以x1

要證x1+x2

即證x2f(e-k).

即證f(e-k)

令g(k)=f(e-k)-k(0

則g′(k)=-f′(e-k)-1=ln(e-k)-1<0.

所以g(k)在(0,1)上單調(diào)遞減.

所以g(k)

所以x1+x2

解法7 同解法6將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明k+x2

令t(x)=f(x)+x(1

則t′(x)=f′(x)+1=1-lnx>0.

所以t(x)在(1,e)上單調(diào)遞增.

所以t(x)

即f(x2)+x2

點評結(jié)合對函數(shù)f(x)的圖象和性質(zhì)的分析，發(fā)現(xiàn)可以借助曲線f(x)與直線y=x的位置關(guān)系，比較f(x)與x的大小，并利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化，通過構(gòu)造新函數(shù)并研究其單調(diào)性完成不等式的證明.這種由形進(jìn)行分析，用數(shù)進(jìn)行證明，也是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).

以函數(shù)為背景對不等式證明的考查是高考中的熱點問題，由于這類問題切入角度多變、解決方法靈活，一直是學(xué)生感覺較為困難的.在復(fù)習(xí)的過程中，要注意對典型的問題進(jìn)行反思總結(jié)，通過對不同解法進(jìn)行分析、比較，抓住并理解問題的本質(zhì)，在掌握解決這類問題的通性通法的基礎(chǔ)上，了解一些比較常見的破解問題的技巧方法，提高數(shù)學(xué)思維的靈活性、深刻性.