經典永不過時 好題經常研究
——對2005年全國高考湖北理科第18題的研究

彭光焰

(湖北省廣水市一中 432700)

解三角形問題，形式直觀，背景新穎，創新性強，命題形式活潑多樣，知識交匯點多，思維方式多變，破解方法多樣，一直是歷年高考與競賽命題中的基本考點和熱點之一，有很好的選拔性與區分度，倍受關注.

1 題目呈現

2 解法探究

視角1通過作輔助線，利用正余弦定理求解.

利用正余弦定理解三角形是解三角形中最基本方法，通過作輔助線把已知條件化歸到一個三角形中，然后再來求解.

圖1

設BE=x,在△BDE中利用余弦定理,得

BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos∠BED.

故BC=2.

設ED=x,在△BDE中利用余弦定理,得

BD2=BE2+DE2-2BE·DEcos∠BED.

故BC=2DE=2(以下略).

圖2 圖3

解法3 如圖3，延長BD至點E使BD=DE.

連接AE，CE，則四邊形ABCE為平行四邊形.

設BC=AE=a，AC=b.

由余弦定理,得

①

由于平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊平方和,得

②

由①和②聯立,得

視角2通過構造向量，用向量有關知識來求解.

在高中新教材中，正余弦定理就是利用向量來推導的，向量進入高中數學之后，又為我們解決三角形問題提供了一條新途徑.利用向量來解決有兩種方法.

解法4 由圖3可知，

圖4

由條件得

視角3 通過建立平面直角坐標系，利用解析幾何知識來求解.

由兩點間距離公式,得

下面可用解法1或解法2的方法來求sinA的值(以下略).

設點D到直線AB的距離為d，

由點到直線距離公式，得

解法8 以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖5所示的平面直角坐標系.

圖5

①

②

由①和②聯立，得

視角4 通過作輔助線，利用正弦的差角公式來求解.

解法9 如圖6,過點D作DE⊥AB于點E,過點D作DF⊥BC于點F,作BC邊上的高AG.

圖6

又sinα=sin(B-β)

=sinBcosβ-cosBsinβ

在Rt△BDE中，

視角5通過作輔助線生成直角三角形，利用解直角三角形的方法來求解.

解法10 如圖7，過點C，D分別作AB的垂線交AB于E，F兩點，則CE∥DF，EF=AF，CE=2DF.

圖7

設BC=a，在Rt△BCE中，

在Rt△BDF中，由勾股定理,得

BF2+DF2=BD2.

在Rt△ADF中，由勾股定理,得

解法10完全沒有用高中數學知識，對于能力強的初中生就可以解決.

3 類似題再現

題1 (2021年全國普通高等學校招生統一考試·新高考全國Ⅰ卷第19題)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.

圖8 圖9

題3 (《數學通報》2021年2月號問題解答2588題)如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC，且BD∶AC=2∶3，求證：∠ABC=60°.

4 總結反思

應該說，這是一道考查學生數學能力的好題，對于數學能力強的學生，能找出多種解法，對于數學能力差的學生，找一種解法就非常困難，這道題對于能力強的初中生就能解決.這道題既考查了學生“數”方面的基礎(如數、式的運算，坐標的假設等)及“形”方面的基礎(如作輔助線，坐標系的建立，勾股定理、正弦定理、余弦定理，向量的三角形法則、平行四邊形法則等)，又檢驗了學生的思想方法的掌握與運用，例如：如何通過作輔助線將已知的角和邊轉化到一個三角形中，從而運用正弦定理和余弦定理來求解；如何將一個三角問題轉化為一個代數問題；如何將一個三角問題轉化為一個解幾問題；如何用坐標來表示有關點；如何用點的坐標來表示有關向量.敘述本題的文字雖簡潔，但本題內涵豐富，思維容量大，解題入口寬，解法眾多，是一道考能力的好題.本題體現了解三角形的本質(必須從“數”與“形”兩方面結合起來思考)，能考查一個高中學生的基本數學素養，同時也能引導教學，重視基礎，重視數學思想方法，重視學生的探索能力的培養，重視學生的創新能力的培養，重視學生的思維能力的培養.