一道預賽題的解法及拓廣

高繼浩

(四川省名山中學 625100)

1 試題呈現

2 解法探究

由于題目1涉及雙曲線焦點三角形的內切圓半徑,比較自然地會想到從面積出發求解.

解法1 設|PF1|=m,|PF2|=n,雙曲線的半焦距為c,則

由余弦定理,知

4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn.

即(m+n)2=4c2+3mn.

所以mn=4b2.

解法2 根據對稱性不妨設P(x0,y0)在第一象限,雙曲線的半焦距為c,則

在△PF1F2中由正弦定理知

圖1

解法3 如圖1,根據對稱性不妨設點P在雙曲線的右支上,△PF1F2的內切圓圓心為I,圓I依次切PF1,PF2,F1F2于點R,S,T,則|PF1|-|PF2|=|RF1|-|SF2|=|TF1|-|TF2|=2a.

設雙曲線的半焦距為c,則

|TF1|+|TF2|=2c.

所以|TF1|=c+a.

即T為雙曲線的右頂點.

且∠IF1T+∠IF2T=60°,

所以tan(∠IF1T+∠IF2T)

點評雙曲線焦點三角形的內切圓切焦點所在軸于其中一個頂點,解法3充分利用了這個美妙的幾何特征,從而巧妙地解決問題.

3 推廣拓展

將試題進行一般化推廣,得到

證明設|PF1|=m,|PF2|=n,雙曲線的半焦距為c,則

在△PF1F2中由正弦定理知

由余弦定理，知

4c2=m2+n2-2mncos2θ

=(m+n)2-2mn(1+cos2θ)

=(m+n)2-4mncos2θ.

即(m+n)2=4(c2+mncos2θ).

命題2 在命題1的條件下,有

證明由命題1可知

證明設橢圓的半焦距為c,則

=(a+c)r.

因為S△PF1F2=b2tanθ,所以(a+c)r=b2tanθ.

命題4 在命題1的條件下，有

證明由命題1的證明可知

證明由命題3的證明可知

4 變式練習

解析橢圓的半焦距為1.設∠F1PF2=2θ,△PF1F2的內切圓、外接圓半徑分別為r1，r2.

故|PF1|+|PF2|=12.

結合|PF1|-|PF2|=4,得|PF2|=4.

解析設雙曲線C的半焦距為c,△PF1F2的外接圓、內切圓半徑分別為R、r.根據對稱性不妨設點P在第一象限,△PF1F2的內切圓圓心為I,圓I切F1F2于點T,由前面的解法3可知T為雙曲線的右頂點,即|TF1|=c+a,|TF2|=c-a.

且∠IF1T+∠IF2T=30°,

所以tan(∠IF1T+∠IF2T)

整理,得48a2=23c2.