例談“曲線系方程法”在解幾題中的妙用

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

我們知道，若兩曲線C1：f(x,y)=0，C2：g(x,y)=0有公共點M(x0,y0)，則過點M的曲線系方程為f(x,y)+λg(x,y)=0(λ∈R)(不包含曲線C2).

由此不難得到：

筆者在教學中發現，很多解析幾何問題若能使用曲線系方程解題，可以達到事半功倍的解題效果，現與讀者分享交流.

1 求曲線的方程問題

解析設所求曲線方程為

(x2+2y2-2)+λ(x2-2y+1)=0(λ∈R)，

即(λ+1)x2+2y2-2λy+λ-2=0.

與x+y=0聯立，得

(λ+3)x2+2λx+λ-2=0.

由題知Δ=4λ2-4(λ+3)(λ-2)=0.

解得λ=6.

所以滿足條件的曲線方程為

7x2+2y2-12y+4=0.

2 求斜率為定值問題

例2 已知拋物線y2=2px上三點A(2,2)，B，C，若直線AB,AC的斜率互為相反數，則直線BC的斜率為____.

解析將A(2,2)代入y2=2px，得p=1.

則拋物線方程為y2=2x.

設lAB：y-2=k(x-2)，

lAC：y-2=-k(x-2)(k≠0)，

即(y-2)2(k2y2+4k2y+4k2-4)=0.

由于A,B,C三點的縱坐標為該方程的三個根，所以B,C兩點縱坐標滿足k2y2+4k2y+4k2-4=0.

又y2=2x，所以lBC:2k2x+4k2y+4k2-4=0.

3 求斜率和為定值問題

(1)求C的方程；

又A,B,P,Q四點在曲線C上，所以A,B,P,Q四點滿足方程

又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

由圓的相交弦定理的逆定理知A,B,P,Q四點共圓.

由圓的一般式知方程式①中xy項系數為0，且x2項與y2項的系數相等，得

則k1+k2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

4 求斜率積為定值問題

解析設直線PA，PB的斜率分別為k1,k2，

則lPA：y=k1x+1，lPB：y=k2x+1.

于是P,A,B三點滿足方程

(k1x-y+1)(k2x-y+1)=0.

即k1k2x2+(y-1)2-(k1+k2)(y-1)x=0.

聯立x2=4(1-y2)，整理,得

(y-1)[-4k1k2(y+1)+(y-1)

-(k1+k2)·x]=0.

由于P,A,B三點的縱坐標為該方程的三個根，所以A,B兩點坐標滿足(k1+k2)x+(4k1k2-1)y+4k1k2+1=0.

即為直線AB的方程.

即k1k2=-1.

故直線PA與直線PB的斜率積為定值-1.

5 求數量積為定值問題

設直線CD,AC,BD的斜率分別為k,k1,k2，則

lCD：y=kx+1，

lAC：y=k1(x+1)，

lBD：y=k2(x-1).

由題知A,B,C,D四點滿足方程

[k1(x+1)-y][k2(x-1)-y]+λy(kx-y+1)=0.

于是k1+k2=λk=k(k1-k2).

6 求直線過定點問題

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點.

當t=0時，直線CD即為x軸；

設直線BC，BD的斜率分別為k1,k2，則

于是B,C,D三點滿足方程

[k1(x-3)-y][k2(x-3)-y]=0.

即(x-3)2-3y2+3(k1+k2)(x-3)y=0.

整理,得9(x-3)[4x+9(k1+k2)y-6]=0.

易知B,C,D三點的橫坐標為該方程的三個根.

所以lCD：4x+9(k1+k2)y-6=0.

7 求圓過定點問題

例7 已知拋物線C：x2=-2py經過點(2，-1)．

(1)求拋物線C的方程及其準線方程；

(2)設O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M,N，直線y=-1分別交直線OM,ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經過y軸上的兩個定點.

解析(1)C：x2=-4y，準線：y=1(過程略)；

于是O,M,N三點滿足方程

(y-k1x)(y-k2x)=0.

即y2-(k1+k2)xy+k1k2x2=0.

聯立x2=-4y，整理,得

y[y-(k1+k2)x+4k1k2]=0.

易知M,N,O三點的坐標為該方程的三根.

則lMN：(k1+k2)x-y-4k1k2=0.

又焦點(0,1)在直線MN上，所以0-1-4k1k2=0.

以AB為直徑的圓的方程為

(x-a)(x-b)+(y+1)2=0.

令x=0，得(y+1)2=4，即y=1或-3.

故以AB為直徑的圓經過y軸上的定點(0,1)和(0,-3).

8 求四點共圓問題

故A,B,C,D滿足方程

所以A,B,C,D四點滿足方程

此即為A,B,C,D四點所在的圓的方程.

本文介紹的“曲線系方程”法， 為今后解決一類解幾問題提供了新的思路，相較于聯立直線與曲線方程的通法，該法過程簡潔、計算量小，可以提高解題效率，但是該法有其局限性，我們在日常的學習中，要結合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不能盲目追求某一種解法，要學會從不同的解法中汲取不同的數學思想，從而提高自身的數學核心素養.