利用“等和線”解題

鐘建新

(浙江省春暉中學 312300)

圖1

當等和線恰為直線AB時，k=1；

當等和線在點O和直線AB之間時，k∈(0,1)；

當直線AB在點O和等和線之間時，k∈(1,+∞)；

當等和線過點O時，k=0；

當等和線與直線AB在點O的兩側時，則k<0.

利用等和線求解數值k(k>0)的基本步驟如下：

①連接AB，構造直線AB；

圖2

所以由等和線結論得x+y的最大值是2.

例2 在ABCD中，E,F分別為CD和BC的中點，若則x+y=____.

圖3

變式在ABCD中，E,F分別為CD和BC的中點，若則x+y=____.

評注若待求和的兩個數不全為題設中基底的兩系數，此時可構造一組新基底，使待求和的兩個數分別為新基底的兩系數.

圖4

即此時x+y取到最大值5.

當點P運動到點B時，連接CE，易證得CE∥BE′.

因為E為邊AB中點，

所以C為邊AN中點.

評注等和線所描述的結論要求表達式中的三個向量共起點，若起點不一致，則可考慮利用向量的減法法則或者平移相關向量去統一它們的起點.

G·波利亞在《怎樣解題》指出：“對于一個題目，首先要熟悉題目，我應該從哪里開始？我能做什么？這樣做我能得到什么？然后深入了解題目”.只要我們對相關問題進行全面深入的研究，就會發現其解法還是有跡可循.