一元三次方程的巧解模型構造及其應用

姚張松；程黎明

(1.江蘇省南京曉莊學院信息工程學院 211171;2.安徽省南陵中學 241300)

華為總裁提到，是數學幫助華為獲得了制定5G標準的先機.要注重數學方法的突起.5G時代同時給數學教育提出了更高的要求,呼喚著數學教育應該上一個更高的臺階.

其實,著名的數學家、數學教育家波利亞提出：“現代探索法力求了解探索過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動”.數學教師如果能在教學中踐行這種智力活動的過程,毫無疑問，這為學生將來運用數學方法打下扎實的基礎，這樣的數學教學是高質量的數學創新教學.

下面,我們通過一個例子來展示問題解決的智力活動過程.中學生都會解一元二次方程，教師能不能幫助學生進一步提高認知？解一個一元三次方程.

1 通過類比得出解決問題的思路

“類比是一個偉大的引路人”“用求根公式解一元二次方程”這是中學生的回答和做法.然而，我們現在可沒有現成的求一元三次方程的求根公式.讓我們回到求解一元二次方程的過程，或許能給我們帶來啟迪和靈感.

一元二次方程的一般形式是x2+ax+b=0，當a≠0時，古人曾用過作變量代換：

問題獲得解決.

這種解法揭示了一種思維過程，其模式如下：

一元三次方程的一般形式是

x3+ax2+bx+c=0.

借用古人的做法,作變量代換：

由于a，b，c都是已知數,所以我們可以把上述方程簡化為：

y3+py+q=0.(其中p，q為已知數)

①

當p=0或q=0時，方程①很容易通過開方運算求解.以下討論均在p≠0且q≠0情形中進行.

現在的問題是：在解一元二次方程的思維鏈的中間那一環斷裂，機械的照搬無濟于事，顯然，我們要尋求引進或建立一種適用的數學模型.

2 尋找熟悉的且類似的模型

“看看未知數!試想起一個具有相同或相似未知數的熟悉的問題來”.

解方程①等價于我們尋找y3+py+q因式分解式.它至少有一個一次因式y+α，于是y=-α是①的一個根，求出①的一個根后，剩余兩個根也就好求了，這提示我們所尋求的數學模型因具有兩種不同的計算方法，一種算出①式的左邊，一種算出①的因式分解式，我們自然想到行列式的算法，它既有對角線算法，又有行列式性質算法，且兩種算法等價.

①是一個一元三次方程，我們自然選擇三階行列式，三階行列式用對角線法計算，有六項，三正項，三負項.每項由不同行不同列的三個數相乘得到.先看主對角線上的三個數，因為①的左邊三次項前面的系數是1，所以主對角線上三個元素取y可以滿足上述條件，當然，三項乘積為y3有各種取法，例如：1,y,y2；1,1,y3等，但為了各行各列之和有公因式可以提取，我們只能選擇y,y,y這種，其余六個數我們可以通過數學實驗來確定.

D(y)=y3-(a2a5+a1a3+a4a6)y+a1a4a5+a2a3a6.

D(y)與方程①的左邊已經非常接近了.要使D(y)有公因式可以提取，要么各行元素之和相等，要么各列元素之和相等，為此,六個常數元素中任取三個或三個以上的元素都將破壞這個條件.六個元素的配置只能是兩種可能,第一種：

D(y)=(y+2a1)(y-a1)2,

三根為：y1=-2a1,y2=y3=a1.

D(y)，a1應是可求的已知,否則構造不出模型，而后一個等式又表明a1是三次方程的根，它又是不可求的未知，a1的雙重身份明顯違背了同一律，說明這樣的模型是不存在的.所以六個數相等雖然簡單但不能這樣取.

第二種，假設六個數中有兩個任取，例如a1,a2任取，a3,a4,a5,a6等于a1或a2，在保證有公因式可提的條件下，D(y)有下列兩種形式：

當各列元素之和相等時,

當各行元素之和相等時

這四種情形的行列式有兩種結果，第一、三情形的行列式為：

=(y+a1+a2)(y-a1)(y-a2),

第二、四情形的行列式為：

=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

D1(y)=D3(y)，按性質計算得到的因式分解式表明，a1，a2，-a1-a2是方程①的三個根,而與前面情形一樣，a1，a2違背了同一律，說明這樣的數學模型是不存在的.

3 調整模型，解決問題

由于D2(y)=D4(y),我們只需討論D2(y).

D2(y)按兩種計算方法相等，即有：

=(y+a1+a2)[y2-(a1+a2)y

下面根據我們思維的過程與結果求解一個一元三次方程：

例1 解方程y3-3y+1=0.

解一元二次方程z2-z+1=0，得

因為a1a2=1，

所以方程的三個根為:

4 回顧解決過程，整理解題思路

檢查問題解決的每一步是否對是回顧不可缺少的步驟，另外，通過驗根可以更有力地說明你的思維方向、過程、結果的正確：

y3-3y+1

=0.

在解①的過程中,我們完全可以導出①的求根公式,讓學生記住公式就行了，然而，我們沒有這么做，因為“僅僅靠記憶不足以產生好念頭”，我們希望學生理解、掌握、運用解決問題的方法和策略，并能在今后遇到新的問題時利用它們披荊斬棘，所向披靡.

對于例題,利用韋達定理可知：

在教師的引導下，讓學生親身參與數學發現的全過程，這將會極大激發他們學習數學的興趣和積極性，掌握科學的探索方法會讓他們受益終身.當然，教師要具備引導的能力，對教師本身也提出了更高的要求，“尋找一個好問題,最好是從前未見過的”，在學生已有認知的基礎上，啟發、幫助學生“跳一跳把桃子摘下來”，這才是高水平、高質量的數學教學，讓我們一起來努力實踐之.