解三角形的基本策略

廖永福

(福建省廈門(mén)第二中學(xué) 361009)

解三角形問(wèn)題的主要題型有：求三角形的邊和角；判斷三角形的形狀；與周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題等.重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理和面積公式，有時(shí)也涉及三角函數(shù)、三角恒等變換和不等式等知識(shí).基本的解題策略有：邊角互化、余弦優(yōu)先、射影定理、消角轉(zhuǎn)化、整體代換和數(shù)形結(jié)合等.

1 邊角互化

解三角形時(shí)，若已知邊的齊次式或角的正弦的齊次式，應(yīng)優(yōu)先考慮利用正弦定理進(jìn)行邊角互化.

例1 (2019年全國(guó)Ⅱ卷文15)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=____.

分析先根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解.

解析由正弦定理，得sinBsinA+sinAcosB=0．

因?yàn)閟inA≠0,所以sinB+cosB=0.

即tanB=-1.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、特殊角的三角函數(shù)值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是利用正弦定理邊化角，屬于基礎(chǔ)題.

例2 (2021年全國(guó)Ⅰ卷19)記△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.

分析(1)由已知條件，結(jié)合正弦定理易證；(2)由∠ADB+∠CDB=π，結(jié)合余弦定理求解.

圖1

解析(1)如圖1，由BDsin∠ABC=asinC和b2=ac，結(jié)合正弦定理，得BD·b=ac=b2.

所以BD=b.

(2)由(1)知BD=b.

因?yàn)椤螦DB+∠CDB=π，

所以cos∠ADB+cos∠CDB=0.

由余弦定理，得

化簡(jiǎn),得6a2-11b2+3c2=0.

即6a2-11ac+3c2=0.

由余弦定理，得

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理和余弦定理，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，第(1)小題的關(guān)鍵是應(yīng)用正弦定理角化邊；第(2)小題的關(guān)鍵是挖掘隱含條件∠ADB+∠CDB=π，應(yīng)用余弦定理角化邊，屬于中檔題.

變式練習(xí)1 (2019年全國(guó)Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)sin2A-sinBsinC=(sinB-sinC)2．

(1)求A；

2 余弦優(yōu)先

解三角形時(shí)，若已知三邊的二次齊次式或某個(gè)角的余弦值，應(yīng)優(yōu)先考慮利用余弦定理進(jìn)行邊角互化.

分析先根據(jù)三角形的面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.

所以ac=4.

因?yàn)閍2+c2=3ac，所以a2+c2=12.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查余弦定理和三角形的面積公式，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用三角形的面積公式和余弦定理求解，屬于中檔題.

A．6 B．5 C．4 D．3

分析利用正弦定理和余弦定理角化邊，得到關(guān)于a，b，c的方程組，消去a即可.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理和余弦定理，考查推理能力和運(yùn)算能力，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件的特點(diǎn)，選用正弦定理和余弦定理求解，屬于中檔題.

(1)求cosA的值；

(2)求sin(2B-A)的值.

3 射影定理

射影定理三角形的任意一邊等于其他兩邊在這邊上的射影之和.

即在△ABC中，若角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA.

射影定理的證法很多，難度也不大，同學(xué)們不妨一試.

例5 (2017年全國(guó)Ⅱ卷文16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若2bcosB=acosC+ccosA，則B=____．

分析由已知條件，結(jié)合射影定理求解.

解析因?yàn)?bcosB=acosC+ccosA=b，

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理和三角恒等變換，這里運(yùn)用射影定理求解，簡(jiǎn)便快捷，屬于基礎(chǔ)題.

所以b(cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.

所以bcosA+acosB=2ccosB+2bcosC.

由射影定理，得c=2a.

(2)由(1)知c=2a，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB.

解得a=1.所以c=2.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，在解答第(1)小題時(shí)，巧妙應(yīng)用射影定理，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程，屬于中檔題.

變式練習(xí)3 (2013年全國(guó)Ⅱ卷理17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

(1)求B；

(2)若b=2，求△ABC面積的最大值.

4 消角轉(zhuǎn)化

分析由正弦定理找出sinA與sinC的關(guān)系，將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式，先求出A，再求C.

又因?yàn)锽=π-(A+C)，

所以sinB+sinA(sinC-cosC)

=sin(A+C)+sinAsinC-sinAcosC

=sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC

=(sinA+cosA)sinC=0.

又C為三角形的內(nèi)角，故sinC≠0.

則sinA+cosA=0，即tanA=-1.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理和三角恒等變換，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).解題關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和定理，將已知等式轉(zhuǎn)換為只含角A與C的等式，屬于中檔題.

(1)求角B的大小；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)等，考查運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化與化歸能力，解題關(guān)鍵是利用內(nèi)角和定理，將cosA+cosB+cosC轉(zhuǎn)化為角A的三角函數(shù)的形式，屬于中檔題.

5 整體代換

整體代換就是根據(jù)所求式子的結(jié)構(gòu)特征，將含某些未知量的式子看作一個(gè)整體，建立已知與所求之間的關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題.采用這種策略解題，往往能收到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的效果.

例9 (2018年全國(guó)Ⅰ卷文16)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC+csinB=4asinBsinC，b2+c2-a2=8，則△ABC的面積為_(kāi)___．

分析由正弦定理結(jié)合條件bsinC+csinB=4asinBsinC，求得sinA，由余弦定理結(jié)合條件b2+c2-a2=8，可求得△ABC的面積.

解析因?yàn)閎sinC+csinB=4asinBsinC，

所以由正弦定理，得

sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC.

因?yàn)閎2+c2-a2=8，

所以由余弦定理，得

所以△ABC的面積

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于bc的方程，再整體求出bc，屬于中檔題.

例10 (2020年全國(guó)Ⅱ卷理17)△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC．

(1)求A；

(2)若BC=3，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

分析(1)由正弦定理結(jié)合條件sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC化角為邊，再根據(jù)余弦定理求出cosA的值，進(jìn)而求得A；(2)由(1)可得(AC+AB)2-AC·AB=9，利用基本不等式可求得AC+AB的最大值，進(jìn)而得到結(jié)果.

解析(1)由已知和正弦定理，得

BC2-AC2-AB2=AC·AB.

(2)由BC=3及(1),得9=BC2=AC2+AB2+AC·AB=(AC+AB)2-AC·AB.

所以9=(AC+AB)2-AC·AB

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng). 解題關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于邊AB和AC的方程后，結(jié)合基本不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于AB+AC的不等式，進(jìn)而求出△ABC周長(zhǎng)的最大值，屬于中檔題.

變式練習(xí)5 (2016年全國(guó)Ⅰ卷理17)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

(1)求角C；

6 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)，研究三角形邊、角之間的關(guān)系，以尋求三角形問(wèn)題的解決途徑.充分挖掘幾何圖形隱含的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，必要時(shí)可適當(dāng)添加輔助線.

例11 (2015年全國(guó)Ⅰ卷理16)如圖2，在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是____.

圖2

分析先找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E，得到AB的兩個(gè)極限值FB和EB，再求解即可.

解析延長(zhǎng)BA與CD相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF∥DA交AB于點(diǎn)F，則FB

在等腰△BCF中，F(xiàn)C=BC=2，∠BCF=30°.

又在等腰△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、余弦定理和極限思想，滲透直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造△BCE，找出線段DA的兩個(gè)極限位置CF和點(diǎn)E，屬于中檔題.

例12 (2014年全國(guó)Ⅰ卷理16)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為_(kāi)___．

分析先用正弦定理化角為邊，再用余弦定理求出A，最后畫(huà)出△ABC及其外接圓，結(jié)合圖形求解.

解析由a=2和

(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，

得(a+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC.

根據(jù)正弦定理，得

(a+b)(a-b)=(c-b)c.

即b2+c2-a2=bc.

圖3

點(diǎn)評(píng)本題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應(yīng)用，滲透邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，解題關(guān)鍵是巧妙利用正弦定理和2=a進(jìn)行代換，將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式，進(jìn)而求出A，再借助△ABC的外接圓，求出△ABC面積的最大值，屬于中檔題.

(1)求B；

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．