韋達定理整體構造方法的巧用

劉天武

(廣東省珠海市第一中學平沙校區 519000)

1 試題呈現與解析

通過分析近六年的全國Ⅰ卷高考圓錐曲線的大題，可以發現2015年20題，2017年20題，2018年19題，它們的解法一致(韋達定理的整體構造).這種整體構造韋達定理的思想，考查頻率高，而且解法簡潔.本文將選取2017年全國Ⅰ卷20題和2021年廣東省一測數學20題作為例子，并用該方法去解決.

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過點P2且與C相交于A,B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點.

解法1(普通解法 )

(2)設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.

解得t=2，不符合題設.

情況2若直線的斜率存在，可設

l：y=kx+m(m≠1).

(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.

由題設可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.

設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

由題設k1+k2=-1，

故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.

故當且僅當m>-1時，Δ>0.

所以l過定點(2，-1).

解法2(韋達定理的整體構造方法)

設直線l的方程為：mx+n(y-1)=1.

①

②

將②式代入上式，可得

化簡,得2m-2n=1.

所以直線l過定點(2,-1).

小結通過對比兩種解法，我們可以發現整體構造韋達定理的方法比普通方法計算要簡潔一些，所設的直線方程無需討論斜率是否存在，運算量小，對學生而言容易掌握.

(1)求橢圓C的標準方程；

①

②

由①可知：

=0.

將②式代入上式，可得

4(1+3n)t2+6(n+2m)t+3(1+2m)=0.

故直線PA與PB的斜率是上述方程的兩個根.

化簡,得2m+9n+4=0.

所以點Q在橢圓的內部.

設點P到直線l的距離為d，所以

dmax=PQ

小結如果本題采用普通的解法，我們會發現計算量非常大，基本上很少有人做出來，至少在筆者閱卷的過程中，未曾發現利用普通方法做出來的.但是采用整體構造韋達定理的思路，還是比較容易解決的.

2 試題變式

通過之前的計算，我們可以將2017年全國Ⅰ卷理科數學20題第(2)問改編.

改編1 將“和”改為“積”，其解法是一致的.

改編2 可推廣到更加一般的情況.

已知點P(x0,y0)在橢圓上，設直線l不經過點P且與C相交于A,B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之積為定值，證明：l過定點.

改編3 把上述的“積”改為“和”.

已知點P(x0,y0)在橢圓上，設直線l不經過點P且與C相交于A,B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之和為定值，證明：l過定點.

改編4 可以把上述的橢圓改為雙曲線、拋物線.

已知點P(x0,y0)在雙曲線(拋物線)C上，設直線l不經過點P且與C相交于A,B兩點，若直線PA與直線PB的斜率之積(和)為定值，證明：l過定點.

小結其實不管條件或者證明的結果怎么變化，只要題目有直接或者間接的涉及到了兩條直線的斜率之和或者斜率之積的問題時，我們均可以采用韋達定理的整體構造思想解決問題.