“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”教學(xué)實(shí)踐與思考

浙江余姚市城南小學(xué)（315400） 蘆建章

“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”是人教版教材三年級(jí)下冊(cè)的內(nèi)容，也是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)面積計(jì)算的起始課。筆者在教學(xué)這一內(nèi)容時(shí)，做了如下分析與嘗試，取得了較好的教學(xué)效果。

一、對(duì)教材、學(xué)情與傳統(tǒng)教學(xué)的解讀

1.對(duì)教材的解讀

關(guān)于“長(zhǎng)方形、正方形面積的計(jì)算”，人教版教材中的例題分為三個(gè)層次：

層次一：通過畫格子和擺面積單位測(cè)量長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)，在“數(shù)面積”的基礎(chǔ)上初步得到長(zhǎng)的塊數(shù)與寬的塊數(shù)之積就是長(zhǎng)方形的面積。

層次二：在提出猜想的基礎(chǔ)上，通過用1 平方厘米的正方形拼成不同的長(zhǎng)方形，觀察、思考長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬的關(guān)系，進(jìn)而用不完全歸納法得出長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法。

層次三：通過測(cè)量、計(jì)算長(zhǎng)方形、正方形的面積，在進(jìn)一步鞏固長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法的同時(shí)，推導(dǎo)出正方形面積的計(jì)算方法。

通過對(duì)教材的分析，可以得出：由于學(xué)生是第一次學(xué)習(xí)面積的計(jì)算，之前沒有面積計(jì)算的知識(shí)儲(chǔ)備，因此借助“鋪面積”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生通過擺一擺、數(shù)一數(shù)，得到長(zhǎng)方形的面積，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每行擺的個(gè)數(shù)乘擺的行數(shù)，正好是長(zhǎng)方形的面積。在此基礎(chǔ)上提出猜想并通過驗(yàn)證，進(jìn)一步揭示長(zhǎng)方形面積的計(jì)算公式。這樣的編排體系，遵循了知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的邏輯過程。

2.對(duì)學(xué)情的解讀

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課之前，剛剛學(xué)習(xí)了面積的意義與常見的面積單位，但對(duì)如何計(jì)算面積沒有知識(shí)方面的儲(chǔ)備，不能像學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形等圖形面積時(shí)，用“轉(zhuǎn)化”的思想方法，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，進(jìn)而推導(dǎo)面積計(jì)算公式。因此，在學(xué)習(xí)方法上是“無法可依”的，完全是“零基礎(chǔ)”。鑒于此，教師在教學(xué)時(shí)，只能立足于原始的擺面積單位的活動(dòng)，幫助學(xué)生初步積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以此為知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)進(jìn)行后續(xù)的學(xué)習(xí)。在此過程中，學(xué)生的觀察、猜想、歸納、概括等能力得到了初步的培養(yǎng)與發(fā)展，為后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)積累了非常重要的經(jīng)驗(yàn)。

3.對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)的解讀

在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師往往引導(dǎo)學(xué)生用1 平方厘米的小正方形鋪長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形，從而發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)邊正好可以鋪5個(gè)、寬邊正好可以鋪3個(gè)，5 與3 的乘積是15，正好是1 平方厘米的小正方形的使用個(gè)數(shù)，說明長(zhǎng)方形的面積是15 平方厘米，從而猜想“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”，隨后通過驗(yàn)證、練習(xí)來鞏固這一公式。這樣的教學(xué)，雖然可以讓學(xué)生掌握長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，但也會(huì)帶來以下弊端：

第一，重方法輕過程。傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師往往注重引導(dǎo)學(xué)生以掌握、應(yīng)用公式，以及會(huì)計(jì)算面積為目標(biāo)。在這樣的教學(xué)思想的引領(lǐng)下，學(xué)生只記住了計(jì)算方法，到五年級(jí)再次學(xué)習(xí)平面圖形的面積計(jì)算時(shí)，已經(jīng)忘記了是如何推導(dǎo)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式的。

第二，忽視對(duì)學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)。本課內(nèi)容屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，因此，它在使學(xué)生理解和掌握知識(shí)、發(fā)展技能的同時(shí)，還承載了一個(gè)非常重要的隱性目標(biāo)——培養(yǎng)與發(fā)展空間觀念。傳統(tǒng)的教學(xué)注重“雙基”卻忽略了這一目標(biāo)，不利于學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

二、教學(xué)實(shí)踐

基于以上思考，筆者在教學(xué)本課時(shí)做了如下嘗試：

【教學(xué)片段一】初步感受面積的大小與長(zhǎng)、寬有關(guān)。

師（出示圖1）：我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了面積，也知道了常用的面積單位。要知道這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少，你有什么辦法？

圖1

生1：可以用1 平方厘米的小正方形去擺擺看。

師：“擺擺看”是什么意思？

生1：就是用1 平方厘米的小正方形鋪在這個(gè)長(zhǎng)方形里。

師：為什么你不用1 平方分米或1 平方米的正方形去擺呢？

生1：這個(gè)長(zhǎng)方形太小了，用1 平方分米的去擺就會(huì)把它蓋住，更不要說用1平方米的了。

師：是啊，我們?cè)谶x擇正方形去擺的時(shí)候要考慮圖形的大小。那就請(qǐng)大家用1 平方厘米的小正方形去擺擺看它有多大。（學(xué)生動(dòng)手操作，教師巡視）

師：你是怎么擺的？

生2：一行擺了5個(gè)，擺了3行。（如圖2）

圖2

師（追問）：一行為什么可以擺5 個(gè)？為什么可以擺3行？

生2：長(zhǎng)邊長(zhǎng)5厘米，小正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，5厘米里面有5個(gè)1厘米，所以正好可以擺5個(gè)。寬邊長(zhǎng)3 厘米，3 厘米里面有3 個(gè)1 厘米，所以正好可以擺3個(gè)，也就是3行。

師：根據(jù)你的擺法，你知道這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少嗎？你是怎樣想的？

生2：是15 平方厘米。我把這個(gè)長(zhǎng)方形擺滿正好用了15個(gè)小正方形，所以是15平方厘米。

師（小結(jié)）：像他這樣擺的同學(xué)還有嗎？（其他學(xué)生舉手示意）像這樣擺，正好用了15 個(gè)1 平方厘米的小正方形，所以得到這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是15 平方厘米，真不錯(cuò)！

生3（舉手）：老師，我還有不同的擺法。長(zhǎng)邊正好擺5 個(gè)就是一行擺5 個(gè)，寬邊只擺了1列，是3個(gè)，說明可以擺3行。（如圖3）不需要全部擺滿，我也知道一共可以擺15個(gè)。

圖3

師：其他同學(xué)聽明白了嗎？

師（小結(jié)并用手勢(shì)比畫）：像他這樣擺，一行擺了5個(gè)，一列擺3個(gè)，就可以知道整個(gè)長(zhǎng)方形可以擺15個(gè)，真是個(gè)好辦法！

【教學(xué)片段二】感悟長(zhǎng)、寬的變化會(huì)引起面積的變化。

課件演示：

師：圖4 中，與原長(zhǎng)方形面積比較，演變后的圖形面積發(fā)生了什么變化？

圖4

生1：變大了。

師：為什么會(huì)發(fā)生這樣的變化？大了多少？（學(xué)生觀察）

生2：長(zhǎng)變長(zhǎng)了，所以面積變大了。大了3 平方厘米。

師：明明長(zhǎng)只增加了1 厘米，為什么面積卻增加了3平方厘米呢？

生3（指著圖4）：寬是3厘米，雖然長(zhǎng)只增加了1厘米，但對(duì)于長(zhǎng)方形來說卻增加了3個(gè)1平方厘米。

師：請(qǐng)想象一下，如果長(zhǎng)方形的寬不變，面積要變小，要怎么辦？（長(zhǎng)縮短）

課件演示：

師：圖5 中，與原長(zhǎng)方形面積比較，演變后的圖形面積發(fā)生了什么變化？為什么會(huì)發(fā)生這樣的變化？（長(zhǎng)不變，寬增加1 厘米，面積就增加5 個(gè)1 平方厘米）

圖5

師：請(qǐng)你想象一下，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)不變，面積要變小，怎么辦？（寬縮短）

【教學(xué)片段三】比較歸納，構(gòu)建模型。

師：長(zhǎng)方形面積的大小與什么有關(guān)？

生1：和它的長(zhǎng)、寬都有關(guān)系。

師：你能根據(jù)剛才的學(xué)習(xí)說一說怎樣計(jì)算長(zhǎng)方形的面積嗎？

生2：計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，只要用它的長(zhǎng)乘寬就可以了。

（板書：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬）

三、教學(xué)思考

“空間觀念”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的十個(gè)核心概念之一，同時(shí)也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分。課標(biāo)中明確了其意義：根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形；等等。如何在日常教學(xué)中，有效培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？筆者以為，空間觀念的培養(yǎng)應(yīng)貫穿“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容教學(xué)的始終。以本課為例，我們需要關(guān)注：

1.重視活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與內(nèi)化

從人的認(rèn)知發(fā)展來看，要構(gòu)建一個(gè)認(rèn)知體系，其前提是需要有必備的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)。借助已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)并積累到一定“厚度”時(shí)，就能自然地生發(fā)新的知識(shí)點(diǎn)，獲得全新的體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，從而促使認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行“自動(dòng)化”重構(gòu)，并為接下來的學(xué)習(xí)重構(gòu)又積累了更高一級(jí)的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)也就自然發(fā)生了。在這一過程中，經(jīng)驗(yàn)的積累與內(nèi)化是促進(jìn)變化的關(guān)鍵因素。在本課中，筆者沒有采用傳統(tǒng)的“老師講、學(xué)生練”的教學(xué)模式，而是設(shè)計(jì)了讓學(xué)生“擺、想、說”等操作環(huán)節(jié)，從學(xué)生已有的知識(shí)尤其是經(jīng)驗(yàn)入手，引導(dǎo)他們?cè)跀[的過程中初步感悟小正方形的塊數(shù)與長(zhǎng)方形面積之間的關(guān)系，以引發(fā)學(xué)生的思考。此外，通過對(duì)不同擺法的比較，學(xué)生在積累擺的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也進(jìn)一步明白了“面積”的意義。

2.引導(dǎo)學(xué)生從一維觀念向二維觀念過渡

在三年級(jí)上冊(cè)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)，周長(zhǎng)使用的是長(zhǎng)度單位，屬于一維觀念。如何使學(xué)生的觀念從一維進(jìn)入二維呢？也就是要實(shí)現(xiàn)從“一維的線”到“二維的面”的突破。如果僅靠語言的描述是不可能達(dá)成目標(biāo)的。因此，筆者把達(dá)成這一目標(biāo)的任務(wù)滲透到了操作環(huán)節(jié)中。在初步感受面積的大小與長(zhǎng)、寬有關(guān)的環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過動(dòng)手?jǐn)[小正方形，逐步積累了經(jīng)驗(yàn)。特別是第二種擺法，只擺一行和一列，就能計(jì)算出擺滿整個(gè)長(zhǎng)方形需要的小正方形的個(gè)數(shù)。通過強(qiáng)化這里的“行”與“列”，形成二維圖像的雛形（橫與縱），潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生從一維觀念到二維觀念有效過渡。

3.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)面積的本質(zhì)意義

在“計(jì)算面積”的教學(xué)中，學(xué)生往往只關(guān)注計(jì)算公式是否應(yīng)用得當(dāng)、計(jì)算結(jié)果是否正確，卻不思考面積的本質(zhì)意義。在本課中，結(jié)合擺小正方形的操作活動(dòng)，使學(xué)生明白：用15 個(gè)1 平方厘米的小正方形正好可以把長(zhǎng)方形擺滿，長(zhǎng)方形的面積就是15平方厘米，即長(zhǎng)方形的面積是單位面積（1 平方厘米）累積的結(jié)果，這才是面積的本質(zhì)意義。在用小正方形去鋪長(zhǎng)方形時(shí)，學(xué)生通過調(diào)用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：用1 平方分米與1 平方米的正方形都不合適。到此強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)平面大小的判斷能力，這也有助于學(xué)生空間觀念的構(gòu)建。

4.引導(dǎo)學(xué)生在變與不變中發(fā)展想象力

通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖像“變”與“不變”的動(dòng)態(tài)比較，發(fā)展學(xué)生的想象力，即在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運(yùn)動(dòng)和位置的過程中發(fā)展空間觀念。與靜態(tài)圖像相比，動(dòng)態(tài)的圖像更能引起學(xué)生的注意，刺激性更強(qiáng)，從而引發(fā)學(xué)生思考。因此，在初步感受長(zhǎng)方形面積的基礎(chǔ)上，筆者設(shè)計(jì)了長(zhǎng)（寬）變、寬（長(zhǎng)）不變的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生通過觀察由于長(zhǎng)度（一維）的變化而引起面積（二維）的變化，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)面積的意義。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生想象“如果要使面積變小該怎么辦”，以此促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成與發(fā)展。這一經(jīng)驗(yàn)的積累，也有利于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)體積的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，能夠較好地從二維向三維過渡。