度量視域下指向學科核心素養的單元主題教學
——以“長方體和正方體的體積”教學為例

吉林長春吉大附中力旺實驗小學（130000） 孫 妍

基于度量這一重要數學思想，對教材相關內容進行整合、并構、優化，形成環環相扣的教學脈絡，既是單元主題教學的初衷也是其歸宿。這樣的單元主題教學不僅能扎實聚焦具體模塊知識的育人功能，而且能夠在全局視野下統整知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀，實現課堂教學與發展數學核心素養的雙向接軌。

一、把握學科核心概念實質及其思想方法

1.界定度量核心概念

數學核心概念是承載數學思想和方法的基石。史寧中教授認為度量是數學的本質，是人創造出來的數學語言，是人認識、理解和表達現實世界的工具。龐加萊認為如果沒有測量空間的工具，我們便不能構造空間。度量是人們對客觀事物某一方面屬性的數值化表示。進一步來說，度量就是將一個待測量和一個標準量（度量單位）進行比較，待測量中所含的標準量的個數就是度量的數值化結果。度量作為刻畫客觀事物的方法，解決了從定性描述向定量描述過渡的問題。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確了“圖形與幾何”的主要內容之一便是圖形的度量。圖形的度量一般是對圖形的長度、面積、體積進行度量。

2.發展度量意識，突出“單位”思想

對任何待測對象的量化，都必須使用統一的度量單位，這體現了“單位”作為度量內核的突出地位。將某一規定長度單位沿線性方向延展或細分，會衍生出新的長度單位，并得到相鄰長度單位間的進率；根據面積單位與長度單位間的關聯，將面積單位向平面內兩個維度延展或細分，會衍生出新的面積單位，并由此獲得相鄰面積單位間的進率；將體積單位向空間內三個方向延展或細分，會衍生出新的體積單位，并得到相鄰體積單位間的進率。在初步借助實物或圖形建立單位表征、獲得感性認識后，通過不斷實踐，逐步形成量的抽象與思維形象的融通，使得“單位”思想不斷深入、量感不斷發展。在這樣螺旋上升的探索中，從學習長度單位中收獲的經驗不斷遷移至面積、體積單位的構建中，圖形的度量單位逐漸切實“著陸”于學生頭腦中。

二、基于核心概念的單元課程組織架構

1.確立以度量為主題的單元課程教學

數學單元教學基于特定目標與主題，以教材為載體，對內在依存性強、蘊含共性特征較多的學習內容進行整合與重組，以單元為單位實施整體框架架構，以實現少量主題深度覆蓋核心內容的教學效果。“用大概念統領全局，圍繞大主題，開展大單元教學”成為度量主題教學的典范模式。利用大概念組織教學，需要改變以往單元教學均衡用力的做法，用突出的、具有統領作用的鮮明主題指導教學內容的規劃與設計；改變過去各教學課時的相對獨立狀態，通過核心概念實質串聯整個單元，溝通各個教學環節。

北師大版教材將圖形度量內容遞進式地安排在不同的年段，從長度、面積到體積，具有螺旋上升的特點，需要教師在教學中呈現知識的連貫性及思想的延續性。在度量主題的引領下，空間維度的擴展是學生在圖形度量領域里獲得的實質飛躍，這種知識結構的順應和同化，為教師組織單元主題教學提供了契機。

2.統整“長方體（二）”單元目標，深度覆蓋核心內容

單元教學目標的制訂，除了要深挖教材內容的實質與內核，還要充分關注目標要素之間的聯系，即具體模塊內容之間是怎樣聯結的，目標指向之間有怎樣的依存關系。這樣既能夠厘清單元整體的編排思路，又能夠映射出教材背后的思想內核。

學習過程中的形成性目標是以單元整體目標為依據，用以區分不同的認知層次和學習水平，為學生的學習活動持續提供有效反饋，幫助學生改進學習方式，最重要的是，使學生參與到評價過程中，看到自身的進步與不足，而非簡單地進行結果性考試與甄別。據此，筆者確立了如下表所示的單元目標及形成性目標。

知識技能過程方法 情感態度單元目標（1）通過實驗活動，了解體積（容積）的實際含義（2）認識常用的體積（容積）單位，感受其大小的實際意義，掌握單位之間的進率轉換（3）探索和掌握長方體、正方體的體積計算方法，能解決與其體積有關的簡單實際問題（4）探索不規則物體的體積測量方法，提高動手操作能力，進一步發展空間觀念（1）通過比較待測對象大小，在直接度量和間接度量中，體會待測對象的可量化屬性（2）經歷確定體積（容積）單位的過程，體會度量單位的實際意義，發展空間觀念，形成體積量感（3）探索長方體、正方體的體積計算方法，發展推理能力主動參與探究活動，能夠獨立思考、合作交流，在過程中反思、質疑形成性目標了解體積（容積）是對物體大小的數值化描述①了解體積（容積）單位產生的必要性及使用途徑②建立體積（容積）單位的直觀表征，選擇恰當的體積（容積）單位刻畫待測對象的大小③掌握體積（容積）單位之間的進率轉換①計數長方體包含的單位體積個數②了解抽象單位計數與長方體長、寬、高之間的關系，驗證、歸納長方體的體積公式③建立底面積與（長×寬）之間的聯系①根據體積守恒規律，利用實驗等多種方法測量不規則物體體積②運用轉化的方法解決問題了解體積的度量是對物體大小的數值化表示，是對未知量里含有的單位標準的數量的計數過程①了解體積與形狀無關，而與含有單位體積的數量有關②對物體體積的大小有直觀感覺，能正確估計物體的體積①探索過程中能夠建立聯系，進行轉化②根據聯系進行算法推理、歸納①積極參與學習活動、獨立思考，主動與同伴合作探究、交流觀點②對結論進行反思、質疑

三、基于教學目標與學生認知現狀，設計有價值的學習活動

為什么“底面積×高”可以成為所有直柱體體積的通用計算方法？僅以“長×寬= 底面積”來進行形式化推理是否可行？事實上，通過機械記憶所形成的數學技能往往是片面的，無法獲得理解、尚未內化的數學學習過程不利于學生健全人格的塑造。如何讓學生理解體積公式的來龍去脈？學生對體積公式的把握應到什么等級？在教學中如何推動學生的思維進階，在舊知中尋找新知的生長點？

學習長度、面積和體積，學生勢必要經歷概念的建立、比較方法的運用、度量工具的選擇、度量單位的產生等過程。將點狀知識連成線，以三個維度線索鋪面，這樣組建起的系統化認知更符合學生的學習規律，更有利于學生在頭腦中梳理與溝通長度、面積和體積三者之間的內部聯系。那么，如何在課堂中引導學生在已知中探索未知，促進學生深度理解并架構空間度量知識體系呢？筆者結合單元主題課“長方體的體積”做具體分析與闡釋。

圖1

學習活動1：筆者設計有數數需求的活動，并讓學生在數數過程中思考：數什么、數數能得到什么、是否包含著一些規律等。利用單位度量即數數的方法應該貫穿本單元教學始終。學生用同樣數量的小正方體擺成長方體，再將長方體切割，還原成小正方體（如圖2），這一過程多次反復，將給定的長方體“結構化”（沿著長、寬、高平均分割，得小正方體），從而發現體積公式并積累經驗。同時，學生借此過程歸納出體積守恒規律，即小正方體數量沒有增減時，體積不受形狀的影響。

圖2

學習活動2：在長方體盒子中擺放小正方體，體會“一個一個地擺，直到擺滿”十分麻煩，迫使學生思考簡單的擺放方法，如只沿著長、寬、高擺一行小正方體，培養學生的空間觀念，為探究體積公式再次積累“分塊”的經驗（如圖3）。

圖3

學習活動3：思考在計算小正方體個數時，“長×寬”到底是表示底面積還是表示一層的體積（小正方體的個數）？其單位是cm2還是cm3？學生在探究長方體的體積計算方法時，對體積公式的由來一般要經歷猜想、觀察、操作、歸納等過程。而針對“底面積×高”這一表達方式，常以“底面積”可由“長×寬”計算得來這種類似等量代換的形式一帶而過。值得正視的是，長方體的體積公式中的“長×寬”與長方體的底面積不能簡單地等同起來，兩者在內涵上有著根本不同。

學習活動4：拓展長方體的體積公式的適用范圍。當長方體的長、寬、高不是整數時，體積公式還適用嗎？（如圖4）對這一問題的探討，是檢驗學生是否真正理解體積公式的時機，也是培養學生度量意識的主要抓手。

圖4

小學數學的教學目標在于讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。在如今的教學中，無論是經驗的累積、基本思想的形成，還是數學抽象、推理、建模能力的培養，都早已不是教師的單向輸出，而是與學生的主動參與、獨立思考和自我建構密不可分。度量作為重要的數學思想之一，承載了獨特且鮮明的學科育人價值。教學中，教師應當使學生在掌握知識技能的同時建構空間度量體系，真正形成數學抽象和直觀想象的數學核心素養。