高中數學解題中數形關系的應用

文 /吳毓敏

引 言

數與形關系密切，運用數可對形進行準確計算，而運用形可直觀地展示數的邏輯關系，提高解題的直觀性。學生在高中數學解題過程中注重數形關系的應用，可少走彎路，迅速發(fā)現解題思路，突破相關難題。因此，教師在教學過程中應做好對數形關系應用的講解，展示針對不同題型應如何采用數形關系進行破題，以更好地拓展學生的視野，使其掌握這一高效的解題方法，促進其解題能力的提升。

一、高中數學數形關系分析

為了使學生更好地應用數形關系解答高中數學習題，教師在課堂上應注重結合具體案例，講解數形關系的重要性，提高學生學習與應用數形關系的意識，同時還應與學生一起總結歸納數形轉化的常用思路以及適合運用數形關系解題的常見題型。

數向形轉化的思路有借助函數圖像進行轉化、借助幾何圖形性質進行轉化、借助向量性質進行轉化等；而形向數的轉化則主要通過構建平面、空間直角坐標系實現。適合運用數形關系解題的題型較多，主要有函數零點問題、函數交點問題、方程根的問題、向量中參數關系問題以及立體幾何中求解軌跡長度等問題。當然，為了使學生在應用數形關系解題的過程中提高效率，教師還應注重講解相關的注意事項，提醒學生在解題時先動腦分析，然后再作答。如在畫函數圖像時，應先明確定義域，聯系已學的函數圖像；針對一些特殊的函數，應靈活運用函數的單調性、奇偶性、周期性知識，以保證畫圖的準確性。

二、高中數學解題中數形關系的應用

（一）數形關系在平面問題中的應用

1.由形化數

由形化數主要是根據給出的圖形，對其進行觀察和研究，提取圖形中的數量關系，找出圖形中的內在屬性，對題目進行深層次的思考和解答。

例題：已知二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像（如圖1），在下列代數式中，①a+b+c；②a-b+c；③abc；④2a+b；⑤b2-4ac，值為正數的個數是（ ）

圖1

A.1個 B.2個

C.3個 D.4個

解：根據圖像可以得出當x=1時，y=a+b+c＜0；當x=-1時，y=a-b+c＞0。因為拋物線開口方向朝上，所以a＞0，因為與y軸的交點在y軸正半軸上，所以c＞0，因為對稱軸＞0。所以a和b異號，即b＜0，所以abc＜0，因為對稱軸x=-＞1，所以2a+b＜0。因為拋物線和x軸的交點是兩個，所以b2-4ac＞0。因此②⑤兩個代數式的值為正數，答案是B。

點評：此題主要是考查學生對二次函數的圖像和性質的掌握情況。因此，在高中數學解題教學過程中，教師應注重對學生數形關系意識的培養(yǎng)，讓學生做到胸中有圖、見數想圖，拓展學生數學思維。面對復雜的函數問題，學生應從圖形角度去思考，分析圖形中隱藏的數據和數量關系，尋找直觀的解題方式。

2.由數化形

高中數學題目類型較多，不少題目的敘述較抽象，理解起來有一定的難度，難以找出其中的有效信息，不利于學生尋找解題思路。因此，面對復雜的數學問題，教師應當引導學生利用數形關系，由數化形，根據題目中的條件，準確畫出圖形，通過圖像展現其數量關系，展示數學式的本質，明確解題思路。

例題：已知函數y=log2(-x)＜x+1，求解x的取值范圍。

解析：此題是超越不等式，看似題目非常簡單，一目了然，但是如果從代數式入手，則難以完成題目的解答。這時若引入數形關系，就可以降低問題的難度，簡化問題的解答思路。根據題目已知條件，畫出函數y=log2(-x)和y=x+1的圖像（如圖2），根據題設中l(wèi)og2(-x)＜x+1，可知y=log2(-x)的圖像在y=x+1的下方，直觀的觀察可以得出x的取值范圍是（-1, 0），非常方便、簡潔。

圖2

點評：在高中數學的解題過程中，不能為了數形結合而應用數形關系，而是應結合解題的實際需要，考慮利用數形關系有利于解題，選好突破點，構建數量關系，完成數形轉化。最后，還要注意對隱含條件的發(fā)掘，這對數學題目的思考和解答非常重要。

3.數形互換

在實際的應用中，教師還應引導學生注重數與形的相互轉換，根據數與形的對立和統(tǒng)一特點，對圖形進行觀察，分析數學式結構。教師可以引導學生通過想象和聯想，實現數與形的轉換，將抽象內容直觀展示出來，發(fā)掘其中隱含的數量關系，從而達到有效解答數學問題的目的。在一些高中數學題目中，不少代數式含有根號，在結構上沒有明顯的幾何特征，通過代數式的方式解題較難，此時可以引入換元法，利用數形關系解決問題。

解法一（代數法）：根據題意，曲線方程可以轉化為x2+y2=1（x≥0），將y=x+k帶入其中，得到2x2+2kx+k2-1=0（x≥0），因為方程只有一個非負數根。所以，（1）當方程有相等根時，即△=0，得出當時，x為負數，不符合題意；當時，x為正數，符合題意。（2）當方程根是0時，得出k=±1；當k=-1時，x不符合題意，舍去；當k=1時，x符合題意。（3）當方程根為一正一負時，兩根的積小于零，得出-1＜k＜1。綜上所述，可以得出，k的取值范圍是或者-1＜k≤1。

點評：對比兩種解題方式，我們可以看出使用代數法解題，步驟較為復雜，解題過程中容易出錯；而結合數形關系，利用圖形進行解題，可以將復雜問題簡單化，將抽象問題轉化成具體問題，一些數學難題就迎刃而解了。

（二）數形關系在空間問題中的應用

1.由形化數

解決高中數學空間問題時，可以由形化數，將空間幾何問題轉化為代數運算，以降低思考、解題的難度。由形化數的常用手段是構建空間直角坐標系，即找到相關點的空間坐標，借助向量的運算計算相關參數，研究相關對象之間的關系。為了更好地提高解題效率、降低計算的復雜度，在構建空間直角坐標系時，學生應充分利用題干中的垂直關系，并在計算過程中準確運用向量坐標運算的相關法則。

點評：該題較為基礎，難度不大。解答該題需要根據構建的空間直角坐標系確定各個點的坐標，在此基礎上運用向量知識求出具體的向量；同時，需要搞清楚平面法向量與平面向量之間的關系，將幾何問題轉化為代數運算問題。

2.由數化形

高中數學空間問題復雜多變，解題方法靈活多樣。根據問題畫出對應的圖形后，學生能借助圖形直觀地看到點、線段、平面之間的關系，達到化難為易的目的。為了更好地提高空間問題的解題正確率，教師應引導學生把握由形化數的細節(jié)，提高畫圖的精確性，尤其應通過相關參數的運算以及以往的解題經驗，做好所畫圖形細節(jié)上的調整，使其符合題干描述。

點評：該題創(chuàng)設的情境較為新穎，屬于動點問題，能很好地考查學生的空間想象能力。解答該題的關鍵在于吃透題意，根據問題以及相關參數的運算，準確判斷點P的運動軌跡。

3.數形互換

部分高中數學空間問題綜合性較強，對思維的靈活性要求較高。在解答這種題時，學生不僅需要具備良好的空間想象能力，而且需要認識到不同圖形位置關系引起的參數變化，尤其應提高數形互換意識，根據題意畫出相關圖形，通過數與形的相互結合找到解題突破口。為提高解題效率，學生應靈活運用立體結合知識理解線與線、線與平面、平面之間的空間關系，同時還應注重勾股定理、正弦定理、余弦定理等的應用，更準確地計算出相關參數。

例題：已知球O是正三棱錐A-BCD的外接球，其中BC=3，點E在線段BD上，且BD=3BE，過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（ ）。

A.2π B.3π C.4π D.5π

點評：該題考查的是三棱錐和球的相關知識，難度較大。難點在于如何借助相關圖形以及空間想象能力確定何時截面的面積達到最小值，同時還要根據自身經驗靈活轉化相關圖形的視角，結合已知條件正確地計算出相關線段的長度。因此，解題時需要將數與形相互對照。

結 語

在高中數學解題過程中，學生巧妙利用數形結合思想，有助于解決抽象化的數學問題，提高解題的效率和質量。在教學中，教師應認真分析哪些知識點涉及數形關系，根據相關知識的難易程度，確定明確的教學目標，采取有效的教學方法，充分利用幾何畫板等多媒體信息技術進行教學，使學生牢固地掌握相關基礎知識，再結合教學內容做好相關理論及習題的講解[1]。為使學生體會到運用數學關系解題的便利，提高學生運用數形關系解題的意識，教師還應注重“一題多解”，給學生留下課堂總結的時間，使其總結適合運用數形關系解題的題型、不同習題的解題突破口以及具體的解題思路，以提升學生的數學學科核心素養(yǎng)。