基于寬帶均勻同心球陣列的低復雜度二維波達方向估計算法

陳海華 王沛曌

①(南開大學電子信息與光學工程學院 天津 300350)

②(天津市光電傳感器與傳感網絡技術重點實驗室 天津 300350)

1 引言

波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計是陣列信號處理中的重要問題之一，在雷達、移動通信、聲音信號處理、航空航天和衛星通信等領域得到了廣泛應用[1]。傳統的DOA估計算法如最大似然估計(Maximum Likelihood Estimation, MLE)算法[2]、子空間估計算法及其改進算法等至今仍被廣泛應用。后者中最具代表性的算法是多重信號分類(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)算法[3]，以及通過旋轉不變性技術估計信號參數的方法(Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)[4]。

相較于1維DOA估計方法，2維DOA估計算法因其可以完成兩個角度的同步獲取引起了廣泛關注。大部分2維DOA估計算法由1維DOA估計方法擴展而來，如經典的2維MUSIC算法[5]，利用入射信號的2維導向向量與噪聲子空間的正交特性進行2維空間譜掃描估計信號入射角度。此外，基于酉變換的旋轉不變(Unitary-ESPRIT)算法[6]、基于總體最小二乘法的旋轉不變(Total Least Squares-ESPRIT, TLS-ESPRIT)算法[7]等，也是由1維ESPRIT算法發展而來的。研究表明，大部分基于譜峰搜索的2維DOA方法都具有更高的精度[8]，但其計算復雜度相較于1維DOA估計方法也急劇升高，因而如何降低2維DOA估計的復雜度也成了一個新的課題。針對此問題，文獻[9]提出了一種基于均勻線性陣列的近場源定位降維MUSIC算法。該算法將導向矩陣分解為兩個參數矩陣，從而將傳統2維MUSIC問題轉化為1維優化問題，并通過1次1維譜峰搜索及1次配對算法估計2維參數，極大地減少了計算量。該方法也可應用于傳統均勻平面陣列[10]和L型陣列[11]的2維DOA估計。

上述降維DOA估計算法均設定到達信號為窄帶信號。然而在實際應用中，到達信號為寬帶信號的情況也很常見，例如超寬帶通信、語音信號處理等。寬帶信號的DOA估計算法有非相干信號子空間方法(Incoherent Signal subspace Method,ISM)[12]、相干信號子空間方法(Coherent Signal subspace Method, CSM)[13]和頻率響應不變波束形成器(Frequency Invariant Beamformers, FIB)[14]等方法。在ISM和CSM算法中，利用傅里葉變換把寬帶信號分解成多個窄帶信號后進行DOA估計。而基于FIB的DOA估計算法首先對陣列響應的頻率特性進行補償，得到的陣列響應具有頻率響應不變特性，因而可以將現有的窄帶DOA估計算法推廣到寬帶信號中?；诰鶆蚓€性陣列的FIB采用固定頻率響應補償網絡，可獲得感興趣頻帶內某個特定角度的頻率響應不變陣列，用于寬帶信號的DOA估計和波束形成[15]。為了改善DOA估計和波束形成在陣列末端的性能，文獻[16]提出基于均勻圓形結構的FIB陣列，該陣列在360o方位角范圍內的性能具有一致性，同時具備電子旋轉特性，并可以離線設計頻率響應補償網絡，極大地降低了實時計算復雜度。為了進一步改善DOA估計和波束形成在仰角末端的性能，可采用具有頻率響應不變的均勻同心球陣列(Uniform Concentric Spherical Arrays,UCSA)[17]?；赨CSA的頻率響應不變陣列，在整個空間內的性能具有一致性，可應用于寬帶信號2維DOA估計。

為了降低寬帶信號2維DOA估計的計算復雜度，本文提出一種基于FI-UCSA的降維MUSIC算法。首先通過離線設計頻率響應補償濾波器得到FI-UCSA，該陣列具有近似頻率不變響應特性。其次，將補償后的導向向量分解為方位角和仰角相關的兩個矩陣，構造降維譜函數。之后，利用1維搜索方法估計信號的到達方位角，并隨之計算相應的仰角。本文提出的寬帶信號2維DOA降維估計算法結合了頻率響應不變陣列和降維算法，極大地降低了實時計算復雜度。理論分析和仿真結果驗證了上述算法的有效性和優越性。

2 數據模型

圖1 UCSA結構圖

由式(5)可以看出，陣列響應基本實現了頻率響應不變特性。此外，本文設計的同心球陣列可等效為一個虛擬平面陣列，且具有電子可旋轉特性，即可通過波束形成系數的相位改變陣列的主瓣方向，同時在整個空間的性能具有一致性。陣列的頻率不變特性可以提高寬帶信號DOA估計的性能，降低計算復雜度；等效陣列的電子可旋轉特性可進一步降低DOA估計的計算復雜度并保證各個角度信號估計性能的一致性。

3 低計算復雜度降維MUSIC算法

由式(20)和式(24)可知，到達信號的方位角和仰角的估計可避免2維搜索，只需根據式(20)進行1維譜峰搜索，得到方位角的估計值，再通過式(24)的配對計算，得到相應到達信號的仰角估計值。因而，該方法極大地降低了2維DOA估計的計算復雜度。

4 仿真結果

本節對本文所提低復雜度2維DOA估計算法進行了仿真。在所有仿真結果中均假設有D=2個信號，到達角度分別為(θ1,φ1)=(10?,30?), (θ2,φ2)=(25?,45?)，兩個信號的頻率范圍均為(0.3π,0.5π)。本文所采取的UCSA共有K=2個球面，第1個球面上的陣元個數為64個，由8陣元均勻圓形陣列旋轉至8 個不同仰角得到，因而P1=Q1=8，半徑r?1=0.6。類似地，第2個球面上P2=Q2=10，半徑r?2=0.8。經IDFT后，方位角和仰角上的相位模式個數分別取W=7和Z=7。離散步長即掃描精度設為Δθ=Δφ=0.25?。每次仿真進行N=300次蒙特卡羅實驗。

基于上述FI-UCSA并采用本文提出的低復雜度2維DOA估計算法性能如圖5所示。本文采用均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)作為性能指標，即

其中，φ?d,n和θ?d,n分別是在第n次蒙特卡羅實驗中第d個信號方位角和仰角的估計值。作為對比，本文還對傳統2維MUSIC算法、ESPRIT算法以及兩種CSM類算法進行了仿真。

圖5展示的是DOA估計的RMSE隨著SNR變化的情況。在此例中，數據長度J=629，共對上述5個算法的性能進行了比較。其中2維MUSIC算法、本文所提降維低復雜度MUSIC算法以及ESPRIT算法是在FI-UCSA基礎上進行角度估計的，RSS算法和基于陣列接收數據的修正算法是CSM類算法。由圖5可得，本文所提算法與傳統2維MUSIC算法和ESPRIT算法相比性能均有所改善，同時，由于RSS算法受預估角度值的影響，因此低信噪比下本文所提算法性能略優。而本文所提算法復雜度僅為5.20×107，相較于傳統2維MUSIC的4.83×109，以及兩種CSM類算法的9.67×108和8.03×108，極大地降低了計算復雜度。

圖2 陣列的頻率不變性

圖3 陣列的電子可旋轉和空間一致特性

圖4 DOA估計的分辨率隨SNR的變化

鑒于MUSIC估計方法是基于譜峰搜索的DOA估計算法，其精度受掃描步長影響。相較于兩個維度均需要按掃描步長確定角度估計值的方法，本文所提算法在進行第2步仰角估計時只需進行配對計算，無需再次搜索，因此不受掃描步長的影響。圖6為角度估計RMSE受掃描步長影響的情況。在本次實驗中，掃描步長Δθ=Δφ=[1?,0.5?,0.25?,0.1?]，信噪比SNR為10 dB。由圖6可以看出，隨著掃描精度的提高，傳統2維MUSIC算法的性能與本文所提算法性能越來越接近。在低信噪比下，角度估計受噪聲影響較大，同一個估計角度在不同掃描精度下，會偏向不同的臨近值，因此圖中RMSE值有部分波動。在實際應用中，由于掃描精度的提高會帶來算法復雜度的指數上升，因此需要根據實際在掃描精度與算法性能之間取得平衡。

圖5 DOA估計的RMSE隨SNR的變化

圖7展示了算法性能隨陣列參數設定的變化。圖7(a)展示了陣列陣元個數對DOA估計性能的影響。圖中橫坐標P1表示第1個均勻圓環上陣元個數，而第2個圓環上的個數P2=P1+2，兩個均勻圓環分別旋轉Q1=P1和Q2=P2個角度得到均勻同心球陣列。為了便于比較，本例中方位角和仰角的相位模式個數分別取W=5和Z=5。另外，信噪比SNR設定為15 dB。由圖7(a)可以看出，隨著陣元個數的增多，DOA估計值的RMSE呈下降趨勢。

圖6 DOA估計的RMSE隨掃描步長的變化

圖7 DOA估計的RMSE隨設定參數的變化

由式(4)可知，每個相位模式下貝塞爾函數的值由當前頻率和陣列半徑共同決定，是影響頻率補償濾波器和DOA估計性能的重要因素[17]。本文分別對陣列半徑和工作頻帶寬帶對算法性能的影響進行了仿真，如圖7(b)和圖7(c)所示。由圖可知，陣列半徑越小、工作頻帶越窄，算法性能越好。

另外，由式(4)還可以看出，本文設計的寬帶陣列具有頻率不變特性，該特性歸功于引入的頻率補償濾波器。然而，頻率補償濾波器的模在設計時需要加以限制[14]，否則將引起接收噪聲的放大，導致DOA估計性能下降。令濾波器的模值限制值為β，DOA估計性能受該值影響的情況如圖7(d)所示?？梢钥闯?，DOA估計的RMSE隨著β值的增加而上升。然而過小的β值會造成補償濾波器的設計困難，因而實際運用中要根據上述情況平衡β的取值。

綜上，在FIB的實際應用中，若想獲得較好的DOA估計性能，可考慮增加陣元個數、減小陣列半徑和陣列有效頻率帶寬、對頻率補償濾波器的模值進行合理限制等操作，同時也要考慮到計算復雜度的問題，折中選取。

5 結論

本文研究了基于FI-UCSA的寬帶信號到達角估計問題，提出一種基于1維搜索的可配對降維MUSIC算法。本算法將具有FI特性的UCSA相位模式導向向量分解為方位角和仰角相關的兩個矩陣，構建1維到達角譜函數，從而可通過1維搜索得到方位角信息。與之配對的信號源仰角估計值可通過最小二乘法得到，因而避免了2維搜索過程，極大地降低了運算復雜度。此外，本文采用的FI-UCSA具有頻率響應不變特性，可進一步降低寬帶信號處理的計算復雜度。多個仿真結果表明，本文所提方法能獲得比ESPRIT算法與傳統2維MUSIC算法精度更高的結果。