一種有限脈沖響應濾波器格型結構優化方法及靈敏度分析

莊 陵 張文靜

(重慶郵電大學通信與信息工程學院 重慶 400065)

(移動通信教育部工程研究中心 重慶 400065)

(移動通信技術重慶市重點實驗室 重慶 400065)

1 引言

未來無線通信系統因其復雜性、多樣化面臨諸多挑戰。由于正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)已無法滿足未來無線通信要求，因此其他多載波調制候選方案在學術界得到廣泛研究，如濾波器組多載波調制(Filter Bank Multi-Carrier, FBMC)、子帶濾波的正交頻分復用(Filtered Orthogonal Frequency Division Multiplexing, F-OFDM)等。其中的原型濾波器即有限脈沖響應(Finite Impulse Response,FIR)濾波器，是多載波調制系統中合成和分析濾波器的主要組成部分[1]。FIR濾波器有穩定性好、實現復雜度低和容易實現線性相位等特點，但在無限精度下設計的FIR原型濾波器直接應用于實際系統，會使得系統性能與理論結果存在偏差，這主要是有限字長(Finite Word Length, FWL)效應造成的，FWL效應使得FIR濾波器實際零點位置與理論發生偏離[2]，如圖1所示，當量化字長Bc=16 bit時，FIR濾波器理想零點分布和實際零點分布。FWL效應引入濾波器系數誤差和舍入噪聲[3,4]，其中濾波器系數誤差用靈敏度衡量。

圖1 15階FIR濾波器零點分布

目前通過優化靈敏度，即降低濾波器系數誤差改善FWL效應主要從優化濾波器系數與改進濾波器實現結構兩方面展開。從優化濾波器系數方面，文獻[5-8]提出濾波器正交狀態空間實現稀疏化，使濾波器系數矩陣元素盡可能為平凡參數(0, ±1)，降低濾波器系數誤差，提高對FWL效應的抵抗能力，但此類方法在迭代時對目標函數和約束條件有限制。從改進濾波器實現結構方面，與濾波器直接型結構和級聯型結構相比，格型結構對FWL效應有更好的魯棒性[9]。文獻[10]和文獻[11]分別提出注入式格型結構和抽頭式格型結構，但上述兩種結構系數固定，無法對其結構優化。因此文獻[12]將注入式格型結構中自由參數，即注入系數，與抽頭式格型結構結合，得到混合結構的濾波器系數靈敏度要優于前兩者。文獻[13]在文獻[12]的基礎上引入另一組自由參數，并利用基于窮舉法和遺傳算法的混合算法對自由參數優化，得到系數靈敏度較好的混合格型結構。

以上改進濾波器格型結構方法都基于無限脈沖響應(Infinite Impulse Response, IIR)濾波器，與IIR濾波器格型遞歸結構不同，FIR濾波器格型結構是非遞歸的，因此上述方法不能直接用于改進FIR濾波器格型結構。因格型結構對量化誤差不敏感[14]，目前基于FIR濾波器格型結構優化較少考慮因量化帶來的濾波器系數誤差對濾波器性能的影響，但隨著未來無線通信網絡向超低延遲、高頻譜效率、高傳輸速率和業務多樣性發展[15]，對濾波器設計也提出更高要求。因此本文從改進FIR濾波器格型結構優化濾波器系數誤差方向展開，提出一種改進FIR濾波器格型結構。首先給出改進FIR濾波器格型結構及其傳輸函數表達式，然后推導出FIR濾波器格型結構狀態空間實現參數表示及狀態空間實現結構系數靈敏度公式并對其理論分析，最后通過仿真實例對比分析不同采樣周期和量化字長約束下傳統格型結構與改進格型結構的頻響特性和系數靈敏度并給出相應結論。

2 改進FIR濾波器格型結構

N階FIR濾波器格型結構傳輸函數為

圖2 改進格型結構單元

圖3 FIR濾波器格型改進結構

3 改進格型結構狀態空間表示及相應靈敏度

3.1 狀態空間實現

3.2 靈敏度表達式理論推導與分析

4 仿真實例及分析

以11階低通線性相位FIR濾波器為例，分別計算不同采樣周期Ts下傳統格型結構和改進格型結構系數靈敏度，并比較頻響特性在量化字長約束下的變化情況。仿真中的濾波器通帶截止頻率為ωp=0.2π Hz，阻帶截止頻率為ωs=0.5π Hz，阻帶最小衰減為αs=30 dB。

4.1 靈敏度分析

根據3.2節傳統格型結構和改進格型結構系數靈敏度公式，給定不同的Ts值，分析傳統格型結構Rz和改進格型結構Rρ系數靈敏度。由表1可知，當Ts=10?2s時，傳統格型結構系數靈敏度小于改進格型結構系數靈敏度，說明此時傳統格型結構因量化產生的濾波器系數誤差小于改進格型結構，但隨著Ts減小，傳統格型結構系數靈敏度保持不變，改進格型結構系數靈敏度逐漸減小，并且由表1可知，改進格型結構系數靈敏度并非隨著Ts減小一直無限減小，如Ts減小到10-4/10-5s時，改進格型結構系數靈敏度減小趨于數值1。下面在頻響特性曲線中分析量化字長和Ts對濾波器頻響特性的影響。

4.2 頻響特性分析

為驗證上述結論并分析傳統格型結構和改進格型結構抗FWL效應能力，將結構系數小數部分舍入量化到Bc位 ，得到以下頻響特性曲線。

表1 不同Ts下結構系數靈敏度

圖4表示采樣周期為10-2s，量化字長為8 bit時理想、傳統格型結構和改進格型結構的頻響特性對比曲線。圖4傳統格型結構頻響特性曲線雖遠離理想狀態，但表現穩定，而改進格型結構頻響特性曲線發生明顯偏離，這是因為采樣頻率低時，改進格型單元具有較差的數值特性，即有限字長特性、系數靈敏度等。

圖4 頻率響應特性比較(Ts=10-2 s, Bc=8 bit)

圖5表示采樣周期為10-2s，量化字長為10 bit時理想、傳統格型結構和改進格型結構的頻響特性對比曲線。與圖4相比，隨著量化字長增大，傳統格型結構頻響特性曲線靠近理想頻響特性曲線不明顯，而改進格型結構頻響特性曲線相比于圖4改進格型結構頻響特性曲線更接近理想曲線，說明改進格型結構對量化字長的敏感程度優于傳統格型結構。

圖5 頻率響應特性比較(Ts=10-2 s, Bc=10 bit)

圖6表示采樣周期為10-4s，量化字長為16 bit時理想、傳統格型結構和改進格型結構的頻響特性對比曲線。與圖4和圖5對比可知，隨著采樣周期減小，量化字長增大，由上述圖5分析可知改進格型結構對量化敏感程度優于傳統格型結構，并且由表1可知，采樣周期小于10-2s時，改進格型結構系數靈敏度小于傳統格型結構系數靈敏度，即改進格型結構濾波器系數誤差較小，因此其頻響特性曲線較傳統格型結構頻響特性曲線接近理想狀態。

圖6 頻率響應特性比較(Ts=10-4 s, Bc=16 bit)

圖7表示采樣周期為10-5s，量化字長為16 bit時理想、傳統格型結構和改進格型結構的頻響特性對比曲線。圖6、圖7對比發現，圖7的改進格型結構頻響特性曲線接近理想頻響特性曲線程度與圖6區別不明顯，因為當采樣周期為10-4s和10-5s時，改進格型結構系數靈敏度值相差不大，即因量化帶來的濾波器系數誤差相差較小，因此圖6、圖7改進格型結構頻響特性曲線接近理想頻響特性曲線程度相差不明顯。

圖7 頻率響應特性比較(Ts=10-5 s, Bc=16 bit)

由上述對各圖的描述和分析可知，量化字長或采樣頻率增大對改進格型結構頻響曲線影響比傳統格型結構頻響特性曲線影響明顯。為直觀表示量化字長和采樣周期對兩種結構頻響特性曲線的影響，分別計算傳統格型結構和改進格型結構的幅頻響應與理想幅頻響應在各歸一化頻率點的平均數值差ωRz和ωRρ。

由表2可知，當Bc=8 bit,Bc=10 bit或Bc=16 bit時，隨著采樣周期Ts減小，ωRz值不變，表明采樣周期Ts不影響傳統格型結構幅頻響應曲線，ωRρ值減小，表明改進格型結構幅頻響應與理想幅頻響應的差值減小，且當Bc=16bit時，改進格型結構幅頻響應更接近理想幅頻響應。當采樣周期Ts=10?2/10?3/10?4s時，隨著Bc增大，ωRz值改變不明顯，ωRρ值減小明顯，表明量化字長對改進格型結構幅頻特性曲線影響比傳統格型結構幅頻特性曲線大。

綜上分析結果，采樣周期Ts改變對傳統格型結構系數靈敏度和頻響特性均無影響，而改進格型結構隨著采樣周期Ts減小，其系數靈敏度減小趨于數值1，頻響曲線更接近理想狀態，在量化字長約束下，與傳統格型結構頻響曲線相比，改進格型結構頻響曲線更接近理想狀態，即改進格型結構抗FWL效應能力優于傳統格型結構。

5 結論

未來無線通信網絡發展對濾波器設計提出更高要求。格型結構具有較好的抗FWL效應能力，但缺少從硬件實現的結構優化方向研究如何降低濾波器系數誤差的文獻。本文提出一種改進FIR濾波器格型結構，推導并分析結構系數靈敏度表達式。仿真實例表明，與傳統格型結構相比，改進格型結構因FWL效應帶來的濾波器系數誤差更小，即系數靈敏度更小，在量化字長約束下，改進格型結構頻響曲線更接近理想曲線，有效改善因FWL效應導致的濾波器性能下降問題。