素數(shù)長理想平衡四元幾乎失配互補對構(gòu)造

彭秀平 鄭德亮 李紅曉

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

(河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室 秦皇島 066004)

1 引言

最佳序列[1](周期異相自相關(guān)函數(shù)值為0)由于其自相關(guān)特性廣泛應(yīng)用于無線通信和雷達系統(tǒng)中，如碼分多址系統(tǒng)中最佳序列主要用于解決系統(tǒng)中的多徑干擾和多址干擾，正交頻分復(fù)用系統(tǒng)中，最佳序列主要用于降低峰均比。然而遺憾的是，已有的最佳2元、4元序列均存在長度上的缺陷，如最佳2元序列僅存在長度為4的情況，最佳4元序列已被證明不存在長度大于 2n(n>4整數(shù))的情況且最佳平衡4元序列不存在[2]。為了獲得更多符合實際需要的序列，學(xué)者相繼提出理想的2元序列[3]、4元序列[4]和奇周期序列[5]等，但這些序列都使用自相關(guān)函數(shù)準則，要求發(fā)送端與接收端必須使用同一序列，這極大地限制了理想序列的存在空間。為了獲得更多的理想序列，學(xué)者相繼地提出更加廣義的理想序列如零相關(guān)區(qū)序列[6]、低相關(guān)區(qū)序列[7]等。失配序列也是廣義理想序列之一，失配序列設(shè)計原則是在通信過程中發(fā)送端和接收端采用不同的序列，這大大擴展了最佳序列和理想序列存在空間。近幾年，關(guān)于失配序列的研究引起了廣泛關(guān)注[8,9]，已經(jīng)證實最佳2元失配序列存在周期為Q ≡0(mod4)情況[10]，理想二值自相關(guān)2元失配序列周期為Q ≡±1(mod4)[11]，最佳4元失配序列大量存在[12]，但是這些序列都屬于單一序列，單一序列的相關(guān)性要受到Welch界的限制，不可能在整個周期內(nèi)同時具有理想自相關(guān)和互相關(guān)性能。互補序列則通過各子序列的異相自相關(guān)和互相關(guān)的對消，可同時達到理想的自相關(guān)和互相關(guān)性能[13]，從而在理論上可以完全消除多載波碼分多址系統(tǒng)的多址干擾和多徑干擾及能顯著降低正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系統(tǒng)的峰值平均包絡(luò)功率比(Peak-to-Mean Envelop Power Ratio, PMEPR)，但是最佳2元和4元互補對同樣存在數(shù)量有限的缺陷，如2元最佳互補對周期在100以內(nèi)僅有20種可用長度且都為偶數(shù)或者1[14]，現(xiàn)有的4元最佳互補對也大多只存在偶數(shù)長度并鮮有涉及序列平衡性的討論[15]，基于此，通過將互補序列異相自相關(guān)函數(shù)和值為0條件放寬，文獻[14]提出了幾乎互補對這類新類型序列。

本文將失配序列設(shè)計思想引入互補對的研究中，并將平衡性納入互補序列設(shè)計考慮范疇，提出了平衡4元幾乎失配互補對的新概念。通過Gray映射對平衡的素數(shù)長4元幾乎失配互補對的理論界進行研究，并基于4階分圓類對滿足理論界的素數(shù)長理想平衡4元幾乎失配互補對的構(gòu)造方法進行了研究，得到了周期長度為素數(shù)長Q ≡1(mod4)的理想平衡4元幾乎失配互補對{(x1,y1);(x2,y2)}的設(shè)計方法。得到的4元幾乎失配互補對用作訓(xùn)練序列可對OFDM系統(tǒng)的載波頻率偏差進行估計和補償，即在發(fā)送端采用序列x1,x2，在接收端采用序列y1,y2，只要保證(x1,y1)和 (x2,y2)兩對失配互補對具有理想的自相關(guān)性能和平衡性，就可以很好地對OFDM系統(tǒng)的載波頻偏進行估計和補償，從而提高系統(tǒng)傳輸性能。所以通過本文研究，擴大了具有理想自相關(guān)特性的4元互補對的存在范圍，同時也為不同應(yīng)用場景下的OFDM系統(tǒng)提供更多的訓(xùn)練序列。

2 基本概念及引理

表1 p 為偶數(shù)時，4階分圓數(shù)及計算式

表2 p 為奇數(shù)時，4階分圓數(shù)及計算式

3 理想4元幾乎失配互補對的構(gòu)造

表3 p為奇數(shù)時，平衡4元失配序列(x1,y1)與 (x2,y2)的定義參數(shù)

圖1 失配序列(x1,y1)與 (x2,y2)的自相關(guān)函數(shù)值及兩者之和

通過計算，可分別求得

表4 p為偶數(shù)時，平衡4元失配序列(x1,y1)與 (x2,y2)的定義參數(shù)

圖2 失配序列(x1,y1)與 (x2,y2)的自相關(guān)函數(shù)值及兩者之和

4 結(jié)束語

本文提出了平衡4元幾乎失配互補對新類型序列，通過Gray映射證明了平衡的周期為素數(shù)長Q ≡1(mod4)且maxk∈{±1,±i}Nk(0)?mink∈{±1,±i}Nk(0)∈{0,2,4}4元幾乎失配互補對的理論界。基于此理論界，利用4階分圓類，按p的奇偶性分別提出了周期為素數(shù)長Q=4p+1滿足理論界的理想平衡4元幾乎失配互補對的構(gòu)造方法。表5列出了目前已有的4元周期互補對同本文得到的理想平衡4元幾乎失配互補對在周期長度、構(gòu)造方法和平衡特性等方面的對比結(jié)果。在周期長度上，除了文獻[22,23]得到了奇數(shù)長4元周期互補對以外，其他文獻得到的多數(shù)為偶數(shù)長4元互補對，本文的構(gòu)造法彌補了奇數(shù)長4元周期互補對存在較少的不足；在構(gòu)造方法上，文獻[15,20-23]都是基于基序列進行擴展或Gray映射等間接方法，所以在周期長度上無規(guī)律，部分長度列舉在表5中，而本文利用4階分圓類提出了直接構(gòu)造方法，序列長度有規(guī)律；在平衡性上，僅本文得到了平衡的4元互補對，文獻[15,20-23]均未考慮平衡性且不能得到平衡的4元互補對。所以通過本文的研究擴展了4元互補對的存在范圍并為OFDM系統(tǒng)提供了更多互補序列的選擇，也為4元互補序列的研究提供了一個新的序列設(shè)計思路。

表5 4元周期互補對已有結(jié)果總結(jié)