基于Lawson范數(shù)的通用lncosh稀疏自適應(yīng)算法

李迎松 梁 濤 張祥坤 姜景山

①(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

②(中國(guó)科學(xué)院國(guó)家空間科學(xué)中心 北京 100190)

1 引言

當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)包含很多為零或者接近于零的系數(shù)時(shí)，且只有少數(shù)比較大的系數(shù)時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)就可以看作稀疏系統(tǒng)。眾所周知，在實(shí)際生活中，許多需要辨識(shí)的信號(hào)都具有這樣的稀疏特性，比如數(shù)字電視傳輸信道和回聲路徑等[1]。多年來(lái)，Widrow等人[2]提出的基于均方誤差(Mean Square Error,MSE)準(zhǔn)則的最小均方(Least Mean Square, LMS)算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算復(fù)雜度低的優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于信道估計(jì)、回聲消除等領(lǐng)域。在稀疏系統(tǒng)識(shí)別時(shí)，稀疏系統(tǒng)的先驗(yàn)稀疏信息可以改善系統(tǒng)識(shí)別的性能。但是，標(biāo)準(zhǔn)的LMS算法并沒(méi)有利用這些信息。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]提出零吸LMS(Zero-Attracting LMS, ZA-LMS)算法，文獻(xiàn)[4-6]提出重加權(quán)ZA-LMS(Reweighted Zero-Attracting LMS,RZA-LMS)算法用于識(shí)別稀疏系統(tǒng)。ZA-LMS在代價(jià)函數(shù)中引入濾波器系數(shù)的l1范數(shù)約束，導(dǎo)致在迭代過(guò)程中生成一個(gè)零吸因子，能夠促進(jìn)濾波器抽頭的稀疏性，改善識(shí)別和跟蹤性能。RZA-LMS算法則利用系數(shù)的加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)約束構(gòu)造一個(gè)重加權(quán)零吸因子，以獲得相對(duì)于ZA-LMS算法更好的性能。

然而，基于LMS的稀疏自適應(yīng)算法是在系統(tǒng)噪聲為高斯噪聲下所提出的。當(dāng)系統(tǒng)噪聲為脈沖噪聲時(shí)，LMS類算法的性能會(huì)受到很大影響。為了解決脈沖噪聲下的系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題，Zhao等人[7]用最大熵準(zhǔn)則(Maximum Correntropy Crition, MCC)來(lái)取代MSE準(zhǔn)則，提出了一系列MCC算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明提出的MCC算法對(duì)于脈沖噪聲具有很好的魯棒性。基于MCC算法，文獻(xiàn)[8,9]提出了用于稀疏系統(tǒng)識(shí)別的ZA-MCC和RZA-MCC算法，以對(duì)抗脈沖噪聲環(huán)境。最近，基于雙曲余弦函數(shù)的自然對(duì)數(shù)lncosh函數(shù)[10,11]的自適應(yīng)濾波算法已經(jīng)用于系統(tǒng)識(shí)別。利用lncosh函數(shù)構(gòu)建的代價(jià)函數(shù)可以看作MSE準(zhǔn)則和平均絕對(duì)值誤差(Mean Absolute Error, MAE)準(zhǔn)則的組合，且組合比例由系數(shù)q>0確定。當(dāng)參數(shù)q接近于0時(shí)，該代價(jià)函數(shù)接近于MSE代價(jià)函數(shù)，當(dāng)參數(shù)q為無(wú)窮大時(shí)，該代價(jià)函數(shù)可以看作MAE代價(jià)函數(shù)。類似地，文獻(xiàn)[12]提出了零吸雙曲余弦函數(shù)的自然對(duì)數(shù)(ZA-lncosh)和加權(quán)零吸雙曲余弦函數(shù)的自然對(duì)數(shù)(RZA-lncosh)算法，并用來(lái)識(shí)別稀疏系統(tǒng)。

Lawson范數(shù)[13]可以近似替代l1和l0范數(shù)，且當(dāng)Lawson范數(shù)中的參數(shù)p等于1或者0時(shí)，該范數(shù)可以分別近似l1和l0范數(shù)。基于Lawson范數(shù)和lncosh函數(shù)，本文提出一種用于稀疏系統(tǒng)識(shí)別的通用Lawsonlncosh自適應(yīng)濾波算法，本算法采用系數(shù)向量的Lawson范數(shù)和誤差的lncosh函數(shù)構(gòu)建新的代價(jià)函數(shù)，并采用梯度下降法得到更新方程。然后，在脈沖噪聲環(huán)境下對(duì)稀疏系統(tǒng)進(jìn)行估計(jì)，以驗(yàn)證算法的有效性，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，在高斯信號(hào)輸入和色信號(hào)輸入情況下，所提Lawson-lncosh算法的性能都要優(yōu)于其他現(xiàn)存的算法，且具有魯棒性。

2 ZA-lncosh和RZA-lncosh算法

其中，h(l)是時(shí)刻l處的估計(jì)權(quán)向量。

2.1 ZA-lncosh算法

對(duì)于ZA-lncosh算法，代價(jià)函數(shù)為誤差信號(hào)e(l)的lncosh函數(shù)和系數(shù)向量的l1范數(shù)約束的組合，定義為

2.2 RZA-lncosh算法

由于ZA-lncosh算法不能區(qū)分零和非零抽頭，在迭代過(guò)程中，促使所有的抽頭系數(shù)均勻地趨近于0。所以對(duì)于稀疏性度低的系統(tǒng)，ZA-lncosh算法的性能會(huì)惡化。因此，RZA-lncosh算法可以解決以上問(wèn)題，RZA-lncosh算法的代價(jià)函數(shù)為

3 Lawson-lncosh算法

4 仿真結(jié)果

本節(jié)設(shè)計(jì)了5個(gè)實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證所提算法的性能。所有仿真結(jié)果均在100次獨(dú)立仿真下取得，在算法迭代過(guò)程中，本文將h的初始值設(shè)置為一個(gè)M維的0向量。

實(shí)驗(yàn)2 假設(shè)未知系統(tǒng)具有16個(gè)系數(shù)，設(shè)置奇數(shù)位上的抽頭系數(shù)為1，其他的抽頭為0，即系統(tǒng)的稀疏度為50%。分別用高斯信號(hào)和AR(1)信號(hào)輸入，標(biāo)準(zhǔn)lncosh, ZA-lncosh, RZA-lncosh和Lawsonlncosh 4種算法中，輸入信號(hào)、系統(tǒng)噪聲和各算法參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1相同。圖2(a)是以上4種算法在高斯信號(hào)輸入時(shí)的MSD曲線。圖2(b)是在AR(1)輸入信號(hào)下的MSD曲線。由圖2可知，無(wú)論是高斯輸入還是AR(1)輸入信號(hào)下，所提Lawson-lncosh算法的性能都要優(yōu)于其他3種算法。

實(shí)驗(yàn)3 假設(shè)未知系統(tǒng)具有16個(gè)抽頭系數(shù)，設(shè)置奇數(shù)位上的抽頭系數(shù)為1，偶數(shù)位上的抽頭系數(shù)為-1，即系統(tǒng)的稀疏度為0%。分別用高斯輸入信號(hào)和AR(1)輸入信號(hào)來(lái)測(cè)試標(biāo)準(zhǔn)lncosh, ZA-lncosh,RZA-lncosh和Lawson-lncosh這4種算法，輸入信號(hào)、系統(tǒng)噪聲和各算法參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1相同。圖3(a)所示的是以上4種算法在高斯信號(hào)輸入時(shí)的MSD曲線。圖3(b)是在AR(1)輸入信號(hào)下的MSD曲線。由圖3可知，無(wú)論是高斯輸入還是AR(1)輸入信號(hào)，Lawson-lncosh, lncosh和RZA-lncosh算法的性能基本一致，即該Lawson-lncosh算法在稀疏度為0%時(shí)也能達(dá)到與標(biāo)準(zhǔn)lncosh算法相似的性能。

圖1 稀疏度為93.75%時(shí)的算法收斂曲線

圖2 稀疏度為50%時(shí)的算法收斂曲線

實(shí)驗(yàn)5 本文在實(shí)驗(yàn)4的基礎(chǔ)之上比較了Lawsonlncosh(p=0)算法在不同迭代步長(zhǎng)下的性能，分別在高斯輸入信號(hào)和AR(1)輸入信號(hào)的情況下分析算法的性能，迭代步長(zhǎng)μ分別為0.0012, 0.0018和0.0024，其他參數(shù)與實(shí)驗(yàn)4一致。圖5(a)是在高斯信號(hào)輸入時(shí)的MSD曲線。圖5(b)是在AR(1)輸入信號(hào)下的MSD曲線。由圖5可知，無(wú)論是高斯輸入還是AR(1)輸入信號(hào)，迭代步長(zhǎng)對(duì)于算法均有很大的影響，且步長(zhǎng)較大時(shí)，算法收斂較快，但MSD較大。步長(zhǎng)越小，算法收斂越慢，但可以獲得更小的MSD。

圖3 稀疏度為0%時(shí)的算法收斂曲線

表1 實(shí)驗(yàn)4各算法參數(shù)

圖4 256抽頭系統(tǒng)時(shí)的算法收斂曲線

圖5 256抽頭系統(tǒng)在不同迭代步長(zhǎng)下的算法收斂曲線

由上述實(shí)驗(yàn)可知，本文所提Lawson-lncosh算法比其他現(xiàn)存的算法具有更好的性能，且具有很好的抗脈沖噪聲的能力。可以用在寬帶無(wú)線通信信道估計(jì)、水聲信道估計(jì)、衛(wèi)星通信信道估計(jì)、噪聲抑制和稀疏系統(tǒng)識(shí)別等具有稀疏特性的系統(tǒng)中或者脈沖噪聲環(huán)境中。

5 結(jié)論

本文提出一種用于稀疏系統(tǒng)識(shí)別的通用Lawsonlncosh自適應(yīng)濾波算法，本算法利用系數(shù)向量的Lawson范數(shù)和誤差的lncosh函數(shù)提出了新的代價(jià)函數(shù)，并分析了所提Lawson-lncosh算法步長(zhǎng)參數(shù)的取值范圍。仿真結(jié)果表明在不同稀疏度的系統(tǒng)識(shí)別中，Lawson-lncosh算法都具有很好的性能且系統(tǒng)的稀疏度越高，算法的性能越好。誤差的lncosh函數(shù)可以提供優(yōu)秀的抗脈沖噪聲的性能，能夠在脈沖噪聲的環(huán)境下穩(wěn)定地識(shí)別系統(tǒng)。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了在高斯信號(hào)輸入和色信號(hào)輸入下，背景噪聲為脈沖噪聲時(shí)，本文算法的性能要明顯優(yōu)于其他現(xiàn)存算法。