注重技巧 快速求解

劉頓

分式的化簡求值是中考常考題型. 為了幫助同學們快速、準確地作答，現介紹四種常用的方法技巧.

一、特殊值法

例1 （2021·江蘇·蘇州）已知兩個不等于0的實數a，b滿足a + b = 0，則[ba] + [ab]等于（ ）.

A. - 2 B. - 1 C. 1 D. 2

解析：由兩個不等于0的實數a，b滿足a + b = 0，可知a，b互為相反數.

取特殊值，令a = 1，b = - 1，則[ba] + [ab] = [-11] + [1-1] = - 2.

故選A.

學法指導：巧取條件成立情況下的特殊值，代入求值式計算，快速、簡潔、明了，這種方法為求解此類填空題和選擇題的首選方法.

二、整體法

例2 （2021·黑龍江·綏化）當x = [2021] + 3時，代數式[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x]的值是 .

解析：根據題意，可先化簡求值式，

[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x] = [x+3xx-3-x-1x-32]·[xx-9]

= [x2-9xx-32-x2-xxx-32]·[xx-9] = [x-9xx-32]·[xx-9] = [1x-32].

再將x = [2021] + 3變形為x - 3 = [2021]，兩邊平方得（ x - 3）2 = 2021，

則[x+3x2-3x-x-1x2-6x+9] ÷ [x-9x] =? [12021].

故應填[12021].

學法指導：本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則、靈活運用整體思維是解本題的關鍵.

三、乘法公式法

例3 （2021·廣東）若 x + [1x] = [136]，且0? < x <? 1，則x2 - [1x2] =_____.

解析：由x + [1x] = [136]，利用完全平方公式可得[x-1x2] =? [x+1x2] - 4x·[1x] = [2536]，

∵0? < x <? 1，∴x < [1x]，∴x - [1x] = - [56]，

∴x2 - [1x2] = [x+1x] [x-1x] = [136] × [-56] = - [6536].

故填 - [6536].

學法指導：靈活、準確地運用完全平方公式及平方差公式是解本題的關鍵，同時還要注意x的取值范圍，避免出現錯誤.

四、歸一法

例4 （2021·山東·菏澤）先化簡，再求值：1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2]，其中m，n滿足[m3] = - [n2].

解析：運用分式的混合運算法則化簡，

1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = 1 + [m-nm-2n]·[m-2n2-m+nm-n]

= 1 - [m-2nm+n] = [m+n-m+2nm+n] = [3nm+n]，

∵m，n滿足[m3] = - [n2]，∴令[m3] = - [n2] = k ≠ 0，

∴m = 3k，n = - 2k，

∴1 + [m-nm-2n] ÷ [n2-m2m2-4mn+4n2] = [3×-2k3k-2k] = [-6kk] = - 6.

學法指導：在運用分式的混合運算法則化簡后，為了求解的方便，將m，n化為一個字母來表示，進而代入并約分求值.