歸納與猜想的三步解題法

張代清

現以四道中考題為例，演練秦鐸運老師在《歸納與猜想》直播課中講授的三步解題法（“三步”即分析特例、猜想共性、推廣應用）.

一、數式規律型

例1 （2021·云南）按一定規律排列的單項式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n個單項式是（ ）.

A. n2an B. n2 an - 1 C. n2an + 1 D.（n + 1）2an

解析：分析特例：各單項式的系數依次是12，22，32，42，52? ;a的指數依次是2，3，4，5，6，為所在項的序號加1.

猜想共性：通項為n2an + 1.故選C.

推廣應用：（改編）按一定規律排列的單項式：-a2，4a3，-9a4，16a5，-25a6，…，第2022個單項式是20222a2023.

二、圖形規律型

例2 （2021·湖南）圖1中三個圖形都是由邊長為1的小正方形形成的網格，其中第一個圖形有1 × 1個小正方形，所有線段的和為4，第二個圖形有2 × 2個小正方形，所有線段的和為12，第三個圖形有3 × 3個小正方形，所有線段的和為24，按此規律，第n個網格中所有線段的和為 .（用n表示）

解析：分析特例：第一個圖形有1 × 1個小正方形，所有線段的和為4，4 = 4 × 1;第二個圖形中有2 × 2個正方形，所有線段的和為12，12 = 4 × （1 + 2）;第三個圖形中有3 × 3個正方形，所有線段的和為24，24 = 4 × （1 + 2 + 3）.

猜想共性：第n個圖形中有n × n個正方形，所有線段的和為4 × （1 + 2 + 3 + … + n） = [4n（n+1）2] = 2n（n + 1），即第n個網格中所有線段的和為2n （n + 1）.故應填2n（n + 1）.

推廣應用：（改編）第100個網格中所有線段的和為20 200.

三、坐標變化規律型

例3 如圖2，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3…都在x軸上，點B1，B2，B3…都在直線y = x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1 = 1，求點B2021的坐標.

解析：分析特例：由OA1 = 1得A1（1，0），根據△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…是等腰直角三角形，求得A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的長度分別為1，[2]，2，…，則B1（1，1），B2（2，2），B3（22，22），B4（23，23），…

猜想共性：Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n ≥ 1且n是正整數），則B2021的坐標是（22020，22020）.

故應填（22020，22020）.

推廣應用：（改編）第8個陰影的面積為[12 × 27 × 27 = 12 × 128 × 128 = 8192].

四、猜想論證型

例4 （2021·青海）觀察下列各式：① [223=2+23];② [338=3+38];? ③[4415=4+415];…根據以上規律，請寫出第5個等式.

解析：分析特例：①[223=2222-1=2+222-1=2+23];

② [338=3332-1=3+332-1=3+38];

③[4415=4442-1=4+442-1=4+415].

猜想共性：當n = 5時，[6662-1=6+662-1]，即[6635=6+635].

推廣應用： [（n+1）n+1（n+1）2-1=（n+1）+n+1（n+1）2-1]（n ≥ 1，且為正整數）.

分層作業

難度系數：★★★? 答題時間：10分鐘

1.圖3是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成的，第①個圖案有4個三角形，第②個圖案有7個三角形，第③個圖案有10個三角形，……依此規律，第n個圖案有 ? ? （用含n的代數式表示）個三角形.

2.如圖4，分別用火柴棍連續搭建正三角形和正六邊形，公共邊只用一根火柴棍. 若搭建正三角形和正六邊形共用2016根火柴棍，且正三角形的個數比正六邊形的個數多6個，能連續搭建正三角形的個數是 ? ? .（答案見第33頁）