課程思政融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)實(shí)踐
——以大數(shù)定律為例

蔡姍姍，吳 波，普粉麗

普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665000

2016年,習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人”[1]。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，在充分發(fā)揮課程的育人功能方面具有極大優(yōu)勢。大數(shù)定律作為概率論研究的中心議題，是很多實(shí)際應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。它是透過大量隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)出來的一個(gè)極限理論，以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式體現(xiàn)了隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性，是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的重要基石[2]，本身著蘊(yùn)含豐富的課程思政元素。

愛因斯坦說：“提出一個(gè)問題，往往比解決一個(gè)問題更重要”。大數(shù)定律作為概率論教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生往往覺得難以理解。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，緊扣課程思政，按照歷史發(fā)展的順序?qū)Σ?、泊松、切比雪夫、辛欽這四個(gè)大數(shù)定律產(chǎn)生的背景、定律的條件、它們之間的關(guān)系及應(yīng)用展開。精心設(shè)計(jì)問題，引入拋硬幣試驗(yàn)，適當(dāng)提問和鼓勵(lì)，激發(fā)學(xué)生不斷質(zhì)疑、釋疑、生疑，帶著問題進(jìn)行分析并解決問題，在解決問題中又發(fā)現(xiàn)新的問題，不斷成長、獲取新知[3]。使知識傳授和價(jià)值引領(lǐng)同頻共振，實(shí)現(xiàn)立德樹人的根本任務(wù)[4]。

1 大數(shù)定律教學(xué)設(shè)計(jì)思路

首先由視頻片段長期虧損問題為開端引入主題大數(shù)定律，然后通過拋硬幣試驗(yàn)視頻簡單介紹大數(shù)定律的背景。接著給出歷史上不少數(shù)學(xué)家做過的拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果，并借助Matlab軟件模擬拋硬幣試驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生觀察并描述試驗(yàn)的結(jié)果，從而給出依概率收斂和大數(shù)定律的定義。圖1所示為教學(xué)內(nèi)容和思政元素的邏輯關(guān)聯(lián)。

圖1 大數(shù)定律教學(xué)內(nèi)容與思政元素關(guān)聯(lián)圖

2 教學(xué)設(shè)計(jì)過程

2.1 引入實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的求知欲

由長期虧損問題的視頻片段引入大數(shù)定律這一主題，通過拋硬幣試驗(yàn)視頻，并介紹大數(shù)定律的背景。例舉歷史上許多著名的數(shù)學(xué)家做過的拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果，如表1所示。通過實(shí)例激發(fā)學(xué)生的興趣，不斷引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們?yōu)樽非笳胬韴?jiān)持不懈、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度。

表1 歷史上拋硬幣試驗(yàn)的若干結(jié)果

2.2 模擬試驗(yàn)，深入理解大數(shù)定律的客觀背景

利用Matlab軟件模擬拋硬幣試驗(yàn)，如圖2所示。在動(dòng)態(tài)演示過程中，學(xué)生容易看到“隨著拋硬幣次數(shù)的增加，正面出現(xiàn)的頻率逐漸趨近于0.5”[3]。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考實(shí)際生產(chǎn)生活中如工廠生產(chǎn)燈泡的廢品率、字母的使用頻率等是否也會(huì)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。大量試驗(yàn)表明，在重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果也有類似的穩(wěn)定性，這種穩(wěn)定性就是大數(shù)定律存在的客觀背景[5]。利用Matlab軟件演示，可以使抽象問題變得直觀、具體，充分激發(fā)學(xué)生的主體性，引起學(xué)生的求知欲。

圖2 拋擲硬幣試驗(yàn)的模擬（n=1200）

2.3 提出質(zhì)疑，引出大數(shù)定律

古人云“學(xué)須有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn)”，由此創(chuàng)設(shè)疑趣相生的情境，讓學(xué)生感受古代文人的智慧，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考和探索，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，在問題的驅(qū)動(dòng)下，不斷去解決問題。激發(fā)學(xué)生聯(lián)想、類比數(shù)列收斂的定義，從概率的角度描述頻率與概率的接近關(guān)系[6]。從而給出大數(shù)定律的定義。

定義1[7]設(shè)Y1，Y2，…，Yn，…是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若對于任意正數(shù)ε，有則稱序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收斂于a，記為Yn→P a。

定義2[8]設(shè)｛Xn｝為隨機(jī)變量序列，若對任意的ε＞0，有則稱服從大數(shù)定律。

大數(shù)定律的定義說明算術(shù)平均依概率收斂于它的數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均。依概率收斂和大數(shù)定律的定義為進(jìn)一步學(xué)習(xí)大數(shù)定律打下必要的基礎(chǔ)。

2.4 幾個(gè)常見的大數(shù)定律

按照歷史發(fā)展的先后順序設(shè)計(jì)教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。向?qū)W生介紹伯努利大數(shù)定律，瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利于1713年在《猜度術(shù)》中提出并證明第一個(gè)大數(shù)定律，即伯努利大數(shù)定律，它的出現(xiàn)在理論和應(yīng)用上都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

定理1[7]（伯努利大數(shù)定律）設(shè)fA為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，P為每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率，則對任意的ε＞0，有

定理2[8]（泊松大數(shù)定律）在n次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A在第k次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是Pk（k=12，…n），以μn記在n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則對于任意正數(shù)ε＞0，有

教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察、思考，不難發(fā)現(xiàn)，泊松大數(shù)定律中的條件是將伯努利大數(shù)定律中第k次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率改為Pk，意味著每次試驗(yàn)發(fā)生的概率各不相同，因此，伯努利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的特殊形式，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的思想方法。

定理3[8]（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個(gè)Xi的方差存在，且有共同的上界，即Var（Xi）≤c，i=1，2…，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的ε＞0，這時(shí)有成立。

切比雪夫大數(shù)定律說明當(dāng)n很大時(shí)，隨機(jī)變量X1，X2，…Xn的算術(shù)平均接近于它們數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值的可能性很大。

概率論學(xué)派的創(chuàng)始人之一，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽給出了著名的辛欽大數(shù)定律。

定理4[8]（辛欽大數(shù)定律）設(shè){Xn}為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若Xi的數(shù)學(xué)期望μ存在，則{Xn}服從大數(shù)定律，即對任意的ε＞0，這時(shí)有

辛欽大數(shù)定律意味著當(dāng)n很大時(shí)，可以用隨機(jī)變量的算術(shù)平均值去近似它的數(shù)學(xué)期望值。在教學(xué)中，通過不斷變化定律的條件，并進(jìn)行論證，在一個(gè)個(gè)發(fā)現(xiàn)問題中，不斷深入研究。同時(shí)，也啟示學(xué)生不要患得患失，得失是趨于平衡的，幫助學(xué)生樹立正確的人生觀。

2.5 大數(shù)定律之間的關(guān)系

大數(shù)定律之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，教師啟發(fā)學(xué)生緊扣定理滿足的條件展開討論，將學(xué)生分成小組，采用激勵(lì)制，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。通過合作討論，學(xué)生基本可以找出它們之間的關(guān)系。

合作探究的方式不僅能讓學(xué)生加深對所學(xué)知識的理解，深刻體會(huì)偶然與必然、量變與質(zhì)變、特殊與一般、精確與近似的辯證統(tǒng)一，還能培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，讓學(xué)生認(rèn)識到同學(xué)之間只有積極協(xié)作才能更好地促進(jìn)學(xué)業(yè)發(fā)展。也要教育學(xué)生在疫情防控期間，每一個(gè)人都要肩負(fù)起責(zé)任，同心協(xié)力，堅(jiān)決筑牢疫情防控安全網(wǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的愛國情懷。

2.6 回歸本真，解決問題

由大數(shù)定律可知，隨著樣本數(shù)量的不斷增加，與客觀存在的結(jié)果之間的差異最終將趨向于零。如在保險(xiǎn)運(yùn)營中，當(dāng)保險(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)，可以根據(jù)以往的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算出某種損失發(fā)生的估計(jì)概率，因此估計(jì)概率比較穩(wěn)定且與這種損失未來實(shí)際發(fā)生的概率非常接近，所以可用估計(jì)概率來計(jì)算可能發(fā)生的損失而確定要收取的保費(fèi)[9]。通過生活中的案例揭示其中辯證思維的因素，幫助學(xué)生樹立、形成辯證唯物主義世界觀，并提高解決實(shí)際問題的能力。

2.7 課后思考，知行合一

大數(shù)定律發(fā)生作用的基本條件是對象具有不確定性，據(jù)此判定社會(huì)保險(xiǎn)體系中的哪些險(xiǎn)種遵從或者不遵從大數(shù)法則，或大數(shù)法則在哪些社會(huì)保險(xiǎn)險(xiǎn)種中發(fā)生或者不發(fā)生作用[10]。通過說明，讓學(xué)生真正理解理論來源于實(shí)踐，用于實(shí)踐，做到知行合一。

3 結(jié)語

以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的大數(shù)定律為例，將課程思政元素融入教學(xué)，讓學(xué)生在參與中獲取知識、發(fā)展思維、感悟統(tǒng)計(jì)，建立馬克思主義哲學(xué)的思想和方法，樹立正確的人生觀、價(jià)值觀和世界觀，真正落實(shí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程立德樹人的根本任務(wù)。