Z變換在常系數線性差分方程求解中的應用*
——以“網絡工程”專業為例

董姍姍，齊 雪，宮原野

（1.安徽科技學院信息與網絡工程學院，安徽 蚌埠 233100；2.蚌埠學院計算機與信息工程學院，安徽 蚌埠 233030）

差分方程是解決離散型數學問題的有力工具[1-2]，在通信[3]、計算機[4]、理論力學[5]等領域有著廣泛應用。文獻[6]指出，差分方程的實質是離散型隨機變量的迭代關系式，由它可以遞歸定義一個離散序列，而這種離散的迭代關系就是通過差分方程來定義。Z變換是一種重要的信號變換工具，其作用是將離散時域信號轉換到Z域進行分析，在電子通信技術和計算機領域中有著重要的研究價值。特別是在設計數字濾波器、數據平滑等領域有著重要作用[7]。網絡工程專業中，求離散型隨機變量解的問題是離散數學內容中的重要知識點[8-10]。離散信號對系統的影響，常采用差分方程建立系統模型，并通過數值方法得出系統的輸出響應[11-12]。但是學生對這個推導過程很陌生，不明白具體的解題方法。針對這種情況，本研究采用Z變換分析一類常系數差分方程，在不同離散函數作為激勵的作用下，根據Z變換的性質，推導出系統的傳遞函數。

1 預備知識

定義1：設離散函數f(k)（k=0，±1，±2…），z為復頻域變量，則函數為函數f(k)的雙邊Z變換。

定義2：設離散函數f(k)（k=0，±1，±2…），z為復頻域變量，則函數為函數f(k)的單邊Z變換，其中ε(k)為離散單位階躍序列。

2 常用函數的Z變換

例1：求指數序列f(k)=akε(k)的Z變換，其中，|a|＜ |z|。

解：

例2：求單邊正弦序列sin(βk)ε(k)和單邊余弦序列cos(βk)ε(k)的Z變換。

例3：求階躍序列ε(k)的Z變換。

3 利用Z變換求解常系數線性差分方程

例1：求常系數齊次差分方程y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=0，y(0)=0，y(1)=3的解。

將上式進行Z變換的反變換可得：y(k)=2kε(k)-(-1)kε(k)。

例2：求常系數非齊次差分方程y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=ε(k)，y(-1)=0，y(-2)=0.5的解。

解：令y(k)?Y(z)，對上述差分方程求Z變換得以下式子。

解：令y(k)?Y(z)，對上述差分方程求Z變換得以下式子。

4 結果與討論

Z變換是分析離散函數重要的工具，常用來分析離散系統的輸出響應，在網絡工程專業的離散數學基礎有著重要的作用。本研究針對學生做題過程中對離散系統傳遞函數不熟悉的推導過程及系統輸出響應的求解方法給出具體實例，根據Z變換的定義、性質推導出常見函數Z變換的具體方法。在一類常系數差分方程求解過程中，通過引入Z變換，分析得出在不同離散函數作用下差分方程解的具體步驟，能夠降低差分方程求解難度，豐富差分方程的解法，對網絡工程專業離散系統分析的教學過程有著一定的指導作用。