淺談邊際分析在經濟數學中的應用

李沛毅

（廣州市機電技師學院 廣東·廣州 510000）

0 前言

導數知識是高等教育數學領域中的一個重要概念，它在經濟分析、經濟決策、經濟管理等等領域中的應用有著十分廣泛的意義和價值，因此，利用這些導數知識我們就可以針對一些實際的經濟問題進行開展一定的邊際性的分析和研究。

1 導數的概念

在討論導數在專業課程中的應用之前，我們先來介紹一下數學中導數的概念。

2 成本函數、收入函數和利潤函數

商人在生產某產品的過程中一定是要耗費一些資源的，如果把這些使用的或者耗費的資源用貨幣表示出來就是成本。產品的成本，包含生產此產品的固定成本如廠房，機器等，和可變成本，如生產產品使用的材料費、電費等等。因此，成本由固定成本和可變成本兩部分組成。我們把固定成本記為，那么固定成本與銷售量x之間沒有直接關系。我們把可變成本記為，那么可變成本是銷售量x的函數，因此成本函數也是銷售量的函數，即。

收入，即商品出售后所得到的收益，很明顯收入是銷售量的函數，我們把它記為。

利潤，是收入與成本的差，即收入減去成本，顯然利潤也是銷售量的函數，我們把它記為，即

3 邊際成本、邊際收入和邊際利潤

在經濟學中，用來描述一個經濟量對另一個經濟量的瞬時變化率的，我們把它叫做邊際。結合數學微分學中導數的定義，某個經濟量函數的導數即為邊際某某。記作。

一般情況下，利潤和銷售產品的產量、產品的銷售價格和產品的成本等因素都有著密切的關系。大部分的情況下，提高產品的售價會減少市場對該產品的需求量，因此，不能簡單的只通過提高產品的售價來獲取更多利潤。那么，我們到底應該通過什么方式來提高企業（產品）的利潤呢？

下面我們從幾個個實際的例子中，具體來看看數學方法是怎么運用的。

分析：在生產4件產品的基礎上，再多生產1件，需成本1.25千元；在生產9件產品的基礎上，再多生產一件，需成本0.8千元。

由此可知，在實際的企業生產中，由于固定成本的存在，隨著生產產品件數的增加，產品的總成本雖然也在不斷的增加，但是每增加一個單位產品所帶來的成本增加量是不同的，一般是在逐步下降的。一般情況下，利潤和銷售產品的產量、產品的銷售價格和產品的成本等因素都有著密切的關系。大部分的情況下，提高產品的售價會減少市場對該產品的需求量，因此，不能簡單的只通過提高產品的售價來獲取更多利潤。那我們到底要這樣才能提高企業的利潤呢？我們是可以適當的增加產量，這樣可以減少單位產品的成本，以便獲得更多的利潤。但是可不可以通過無限的增加產量這種方式來獲得更多利潤呢？下面這個例子將告訴大家這種方法是否可行。

例：某企業生產一種產品，當每天的產量為x噸時，每天的利潤為：Lx=160x4x2萬元，求產量為15噸、20噸、25噸時的邊際利潤，并作出經濟學分析。

解：∵每天生產該產品 x噸時的邊際利潤為：L′x=1608x故L′15=40L′20=0L′25= 40

分析：在生產15噸的基礎上，再多生產1噸，利潤增加40萬元；在生產20噸的基礎上，再多生產1噸，利潤增加0萬元；在生產25噸的基礎上，再多生產1噸，利潤減少40萬元，即虧本40萬元。

由此可知，在一些實際的經濟活動中，因為邊際利潤的存在，并不是產量越高，利潤就越大。當產量到一定程度時，因為邊際利潤可能就等于零了，這個時候如果企業再增加產量，不僅不會導致利潤增加，反而會導致利潤下降。因此企業主一定要找到臨界點，也就是邊際利潤等于零的位置，在這個位置以前，可以通過增加產量的方式來減少單位產品的成本，以便獲得更多的利潤。但是在這個位置之后，企業一定不能再增加產量了，否則會導致利潤下降。因此，作為一家企業，是不能單純的只依靠提高產品的產量來提高利潤，搞不好，會造成生產越多越虧錢的局面。

由此可知，隨著客戶所吃包子個數的逐步增加，消費者的總效用在不斷的增加；但是每多吃一個包子帶給客戶的滿足程度是不相同的，是不斷直線下降的；當客戶吃三個包子以后，因為客戶已經吃飽，因此再吃下去，不僅不會給客戶帶來滿足，反而會帶來痛苦。

4 小結

當前，我們國家的高等職業教育學歷屬于專科，和本科教育的要求和目的均不同。因此我們高職學生的數學基礎呢相對來說非常薄弱。在日常的教學過程中，我發現我們的大多數學生不知道為什么要學習數學，他們中的很大一部分學生認為高職是不需要學數學的，用他們的話來說，就是不想學數學才來讀高職的。因此他們的學習標不明確。在他們的眼里，即使學校開設數學課程，數學也只是一門只需要期末考試考及格的課程，僅此而已。對于數學在他們專業課中的應用以及運用數學知識來解決實際生活中的問題他們更是難以接受，他們普遍覺得數學離他們的日常生活特別遙遠。他們會問買菜需要函數嗎，我的個人日常生活需要導數嗎。所以我們的課程要盡量做到理論聯系實際，讓學生在課堂中親身體會到數學確實和我們的生活息息相關。

綜上，導數在經濟數學中的應用非常廣泛，它不僅僅可以用來進行各種邊際函數的分析，也可以用來進行后續的各種彈性分析。如何結合專業背景問題開展討論學習，幫助學生掌握相關專業問題的分析，值得我們教師在教學過程中進行深入的探討和研究。