借助現(xiàn)代信息技術(shù)促進(jìn)幾何概念教學(xué)
——以《5.1矩形》一課為例

孟澤琪

（杭州市勇進(jìn)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 浙江·杭州 310008）

1 問題的提出

我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程基本理念指出：“……數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效。要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為把現(xiàn)代技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)和解決問題的強(qiáng)有力工具，致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中。

2 教學(xué)支持條件分析

利用幾何畫板制作課件，演示動(dòng)態(tài)圖形；截止希沃助手手機(jī)拍照上傳投屏，隨時(shí)拍照展示學(xué)生學(xué)習(xí)成果、及時(shí)呈現(xiàn)課堂細(xì)節(jié)；結(jié)合電子白板，學(xué)生觸摸白板拖動(dòng)圖形，使課堂更加生動(dòng)形象。

3 幾何畫板在《5.1矩形》的技術(shù)應(yīng)用

3.1 課堂引入——開放式

問題1：如圖1，用6根牙簽棒首尾相接擺成一個(gè)平行四邊形，思考：

圖1：平行四邊形火柴和矩形火柴

（1）一共能擺成_________個(gè)不同的平行四邊形？

（2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一個(gè)平行四邊形？如果有請(qǐng)畫出圖形，如果沒有請(qǐng)說明理由。

呈現(xiàn)兩個(gè)問題后，演示平行四邊形與矩形的動(dòng)態(tài)變化,引導(dǎo)學(xué)生觀察其垂線、對(duì)角線以及角度的變化，幫助學(xué)生從多角度分析圖形的性質(zhì)，如圖1，學(xué)會(huì)從“邊、角、對(duì)角線”來分析幾何問題。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)理解矩形概念。

學(xué)生先行：通過收集學(xué)生的任務(wù)單發(fā)現(xiàn)，70%學(xué)生都能畫出兩種變形，其中就包括矩形類型，10%只畫出一種，20%畫出了多種變形，聯(lián)想到平行四邊形可以通過旋轉(zhuǎn)得到矩形。

3.2 合作學(xué)習(xí)——探索式

教師提供幾何畫板的平行四邊形模型，大膽放手讓學(xué)生旋轉(zhuǎn)、平移平行四邊形，如通過點(diǎn)擊幾何畫板中的角度摁鈕，觀察平行四邊形某一角的角度變化；通過點(diǎn)擊對(duì)角線摁鈕觀察平行四邊形對(duì)角線長度的變化；通過點(diǎn)擊垂線摁鈕觀察平行四邊形高的變化。

問題2：嘗試探索一下問題：

（1）平行四邊形牙簽的面積如何計(jì)算？

（2）過C點(diǎn)作高怎么畫？

（3）這個(gè)直角在平行四邊形的內(nèi)部還是外部？

圖2

【教學(xué)說明】問題 2中第（1）、（2）、（3）問引導(dǎo)學(xué)生想象平行四邊形上的高，作高與底邊，以及平行四邊形內(nèi)角角度有關(guān)，從高線的角度出發(fā)理解平行四邊形與矩形不同點(diǎn)。

問題3：請(qǐng)根據(jù)平行四邊形的動(dòng)態(tài)變化，回答以下問題：

（1）當(dāng)平行四邊形變成矩形的時(shí)候，高怎么消失了？

（2）平行四邊形的對(duì)角線有什么數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生先行：學(xué)生們已觀察到∠ABC變成直角的時(shí)候這個(gè)圖形就是矩形。

在問題 3 中的第（1）、（2）中，在動(dòng)態(tài)演示的過程中，可以得知，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，同時(shí)50%的學(xué)生反映高度的變化，知道高和邊BC重合時(shí)就是這個(gè)圖形面積最大的時(shí)候，學(xué)生細(xì)心的觀察和提問，體現(xiàn)了在幾何畫板運(yùn)用環(huán)境中，學(xué)生主動(dòng)思考、操作、驗(yàn)證的能力，激發(fā)了他們的想象熱情，說明幾何畫板可以提高整個(gè)課堂的上課效率，吸引學(xué)生眼球的同時(shí)，激發(fā)了他們的思考熱情。

學(xué)生要想回答第（2）問需要運(yùn)用類比，已知所有的平行四邊形的對(duì)角線都是互相平分的，但不是所有的對(duì)角線都是相等的，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)平行四邊形是矩形時(shí)，才有可能使得這個(gè)圖形的對(duì)角線相等，由此可以進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)：如何證明矩形的對(duì)角線相等。

【教學(xué)說明】在幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示中，分析矩形與平行四邊形的異同點(diǎn)，感受圖形的邊、角、線之間的變化及聯(lián)系，能建立起學(xué)習(xí)材料與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有知識(shí)的關(guān)系，產(chǎn)生有意義的學(xué)習(xí)。

問題4：根據(jù)平行四邊形火柴的動(dòng)態(tài)圖像回答以下兩個(gè)問題：

（1）面積最大的平行四邊形出現(xiàn)在什么時(shí)候？

（2）一個(gè)角是直角的平行四邊形是什么圖形？

學(xué)生先行：當(dāng)問及是否有面積最大的一個(gè)圖形的時(shí)候，學(xué)生會(huì)有多種多樣的回答，如90度角，對(duì)角線相等、高與BC邊重合等，矩形是有一個(gè)角是90度的平行四邊形。

【教學(xué)說明】學(xué)生在組合火柴的過程中，矩形的概念逐漸清晰，因?yàn)橥ㄟ^問題2讓學(xué)生能夠從多角度、多方向思考問題的核心，為學(xué)生自主選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容提供了機(jī)會(huì)，問題激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)想象能力和自信心。

3.3 概念類比——?dú)w納式

在矩形概念形成的過程中，為了更加深入的理解矩形與平行四邊形的關(guān)系，可以加入動(dòng)畫演示，從（1）定義（2）性質(zhì)（邊、角、線）（3）判定（用什么方法來證明這個(gè)圖形？）三個(gè)角度動(dòng)態(tài)展示從平行四邊形到矩形的變化過程，可以加深學(xué)生對(duì)矩形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，即矩形是特殊的平行四邊形。

同時(shí)，由于學(xué)生已學(xué)習(xí)平行四邊形的概念，教師也可以從“邊—角—線”等角度對(duì)矩形進(jìn)行歸納，提升對(duì)矩形的認(rèn)識(shí)。

【教學(xué)說明】通過直觀的動(dòng)態(tài)演示，有助于學(xué)生對(duì)矩形性質(zhì)的理解，類比出概念學(xué)習(xí)的一般方法，其實(shí)理解圖形性質(zhì)還可以從邊上的鄰邊、對(duì)邊分析；也可以從角度上的鄰角、對(duì)角分析；還可以從對(duì)角線是否平分、相等來分析；甚至可以從對(duì)稱性來分析，至于如何證明這些關(guān)系，可以留給學(xué)生更多的想象空間去課外思考了。

4 信息技術(shù)輔助幾何概念教學(xué)的幾點(diǎn)反思

4.1 信息技術(shù)拉近生活與數(shù)學(xué)之間的距離

在初中教學(xué)中，教師往往都是直接通過PPT動(dòng)畫來完成幾何圖形的概念理解、習(xí)題分析。而幾何畫板往往通過畫圖和動(dòng)畫演示等形式，將某些抽象的概念轉(zhuǎn)化為直觀的圖像，有助于學(xué)生理解幾何概念。

在幫助學(xué)生學(xué)習(xí)方面，幾何畫板在結(jié)合現(xiàn)代電子白板的交互界面上，學(xué)生直接可以用手操作投影畫面，課堂中所有學(xué)生都可以直觀、近距離的觀察、操作、演示，不僅可以深深吸引學(xué)生的眼球，并且通過長期的使用和講解，學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)聯(lián)想到用信息技術(shù)來解決數(shù)學(xué)問題，促使學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)來解決問題。

同時(shí)，教師也需要保證學(xué)生能充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)情境。本節(jié)課在擺放牙簽（五分鐘）一位學(xué)生利用幾何畫板在電子白板上擺放牙簽，其他學(xué)生在學(xué)習(xí)單上畫出草稿、探索矩形的“邊角線”（10分鐘），如：學(xué)生在電子白板上隨意拖動(dòng)、旋轉(zhuǎn)平行四邊形觀察圖形變成矩形的過程中的變化，得出自己的數(shù)學(xué)猜想；了解矩形的對(duì)稱性（5分鐘），如：學(xué)生通過拖動(dòng)矩形觀察矩形在放大縮小過程中的對(duì)稱性，這些環(huán)節(jié)都給學(xué)生留有足夠的時(shí)間（5分鐘+10分鐘+5分鐘=20分鐘），學(xué)生不僅對(duì)信息技術(shù)展現(xiàn)數(shù)學(xué)原理非常感興趣，學(xué)生對(duì)自主探究出來的概念和結(jié)論也是記憶猶新，在這樣的操作、展示的過程中，教師發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)幾何畫板的操作、功能都有了新的認(rèn)識(shí)和興趣，他們更愿意去了解和學(xué)習(xí)新技術(shù)的更多功能，提高參與、討論數(shù)學(xué)問題的激情，培養(yǎng)重新創(chuàng)造數(shù)學(xué)的能力。

4.2 利用信息技術(shù)體驗(yàn)類比思想

本節(jié)課使用幾何畫板，從點(diǎn)、線、面三個(gè)角度（或者說是邊、角、線）動(dòng)態(tài)演示了平行四邊形變成矩形的具體過程，尤其是動(dòng)態(tài)演示過C點(diǎn)作直線AB的高，當(dāng)高與邊BC重合的時(shí)候，使學(xué)生聯(lián)想到有一個(gè)是90度的平行四邊形是矩形。

5 結(jié)束語

在一般教學(xué)情況下，學(xué)生會(huì)忽視矩形對(duì)角線的特征，但通過幾何畫板演示發(fā)現(xiàn)，矩形的對(duì)角線是相等的，這些都是信息技術(shù)所帶來的生長點(diǎn)。本節(jié)課從觀察、思考、證明三個(gè)步驟充分培養(yǎng)了學(xué)生自我探索、類比論證的能力，提供了學(xué)生展示自我的平臺(tái)，使用信息技術(shù)當(dāng)堂演示、互動(dòng)、展示，增強(qiáng)了課堂的可操作性，加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)幾何概念的理解。