探索多種方法求18°角的正弦值

陳 城

（湖北黃岡應急管理職業技術學院 湖北·黃岡 438021）

1 求18°角的正弦值的構思

初中學習過銳角三角函數的知識、三角形有關知識、多邊形及圓的有關知識，故可以構造平面圖形利用平面幾何知識求解。還可以利用誘導公式；兩角和、差的正弦、余弦公式及倍角公式、正弦定理、余弦定理的知識求解。

2 構造平面圖形用初中平面幾何知識求解

2.1 方法一：構造頂角是36°的等腰三角形做輔助線求解[1]

實際上，可以用黃金分割比來理解該解法，把一條線段分成兩段，使得短線段與長線段之比等于長線段與全線長之比，稱為黃金分割比。[2]易算出黃金分割比的比值為.滿足黃金分割模型需要同時滿足兩個條件：（1）最長的線段；（2）長度介于中間的線段的等比中項。兩個條件必須同時滿足，缺一不可。

圖1

2.2 方法二：構造頂角是108°的等腰三角形做輔助線求解

圖2

2.3 方法三：構造正五邊形做輔助線求解

圖3

圖4

2.4 方法四：構造五角星圖形求解

圖5

3 利用誘導公式及和差公式、倍角公式、正弦定理與余弦定理求解

3.1 方法五：誘導公式及倍角公式求解

3.2 方法六：誘導公式及倍角公式求解

3.3 方法七：誘導公式及倍角公式求解

3.4 方法八：利用正弦定理、余弦定理結合誘導公式及倍角公式求解

4 小結

求解18°角的正弦值，上述列出的方法均是通過找等量關系列方程，均貫穿了解方程的思想，有些方法構思巧妙就直接化成了一元二次方程求解，而有些方法會出現3次、4次方程，這時必須通過因式分解來化簡約去非零因式最終轉化成一元二次方程求解。構造的圖形，其內角均是18°的倍數，需要巧做輔助線，特別是合理作角平分線、等腰三角形底邊上的高。還要靈活運用全等、相識三角形的判定與性質，構造圖形求解具有形象直觀性；而運用高中的誘導公式、倍角公式等知識點簡潔明了，但是比較抽象。