非線性兩能級系統中的Landau-Zener-Coulomb躍遷

豆福全, 胡 丹, 孫建安

(西北師范大學 物理與電子工程學院, 蘭州 730070)

1 引 言

量子非絕熱躍遷作為量子力學中的一種基本現象, 涉及到化學反應系統、核物理系統和超冷原子系統等多個領域[1-7]. 長期以來, 人們為了研究量子非絕熱躍遷這一現象, 引進了眾多模型, 其中多通道Landau-Zener-Coulomb模型作為可精確求解的模型之一, 是由Sinitsyn于2013年提出. 不同于其它模型, 在該模型中, 能級之一是根據庫侖定律衰減的[8], 而其它能級則是隨時間線性變化. 隨后,Sinitsyn團隊基于該模型對量子非絕熱躍遷進行了大量的研究, 得到了一系列結果, 包括躍遷概率的解析表達式, 躍遷過程中的反直覺行為以及振蕩現象等[8, 9]. 此外, 該模型在Rydberg原子和分子碰撞中也有著重要應用[10-15].

實際上對于真實的物理系統, 特別是超冷原子系統, 往往由于存在粒子間相互作用而使系統具有非線性[16]. 這些非線性會使物理系統出現一系列新奇現象. 近年來, 許多學者對非線性系統, 特別是對非線性系統的躍遷動力學進行了廣泛地研究. 如非線性Landau-Zener隧穿[17-22]、非線性Rosen-Zener躍遷[23, 24]和非線性Demkov-Kunike躍遷[25]等. 而對于Landau-Zener-Coulomb模型, 如果系統中存在粒子間相互作用, 其躍遷動力學仍不清楚.

本文研究了非線性兩能級系統中的Landau-Zener-Coulomb躍遷動力學. 在非絕熱條件下, 通過將能級的斜率分為為正和為負兩種情況, 討論了粒子間相互作用對Landau-Zener-Coulomb躍遷動力學的影響, 發現當能級的斜率為正時, 非線性會抑制非絕熱躍遷, 且非線性強度越大, 兩能級間的非絕熱躍遷越難發生. 而為負時, 弱非線性會促進非絕熱躍遷, 對于強非線性情況, 躍遷概率會出現振蕩. 隨著非線性強度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 能級間的非絕熱躍遷受到抑制.

2 模型與能級

非線性兩能級系統的Landau-Zener-Coulomb躍遷可以由下面無量綱化的薛定諤方程描述：

(1)

哈密頓量為

(2)

其中a,b是|0〉態和|1〉態的概率幅, 系統的總概率|a|2+|b|2=1.k是|0〉態的能級曲率,β為|1〉態的能級斜率,g和c分別是兩個能級之間的耦合強度和描述粒子間的相互作用的非線性參數.

由于系統是從τ→0到τ=+∞演化, 假設初始時刻τ→0時系統完全制備在|0〉態上. 定義躍遷概率為P0→1=|b(+∞)|2. 則線性情況下(c=0)躍遷概率如下所示[8]

(3)

(4)

(5)

通過數值求解(5)式, 得到如圖1所示的能級結構圖. 其中初始態在上能級上, 隨著非線性的出現, 能級結構發生了改變. 當能級的斜率為正時, 如圖1(a)所示, 隨著非線性強度的逐漸增大, 系統的下能級出現了環狀結構, 并隨非線性強度的逐漸增大而擴大. 而當能級的斜率為負時, 如圖1(b)所示, 非線性相互作用也會使系統的能級結構發生改變, 當非線性強度增大到超過某個臨界值時上能級上出現了環狀結構, 且隨著非線性強度的增大會變大.

為獲得粒子間相互作用的臨界值并分析系統中出現的動力學性質，可通過正則變換將非線性兩能級系統轉化為經典哈密頓系統[18]. 其中a=|a|eiθa,b=|b|eiθb, 引入布居數差s=|b|2-|a|2和相對相位差θ=θb-θa, 得到系統的經典哈密頓量:

(6)

θ=0,π,

(7)

(8).

相互作用臨界值滿足:

圖1 (a)k2=0.7,β=1.0,g=0.3時不同非線性強度下的能級結構; (b)k2=0.2,β=-1.0, g=0.3時不同非線性強度下的能級結構.Fig. 1 (a) Energy levels for different nonlinear strengths with k2=0.7,β=1.0,g=0.3; (b) Energy levels for different nonlinear strengths with k2=0.2,β=-1.0,g=0.3.

(9)

(10)

3 Landau-Zener-Coulomb躍遷動力學

本部分將采用4-5階龍格-庫塔法數值計算能級斜率分別為正和為負兩種情況下兩能級系統中的躍遷動力學. 數值計算中時間取τ=0.0001到τ=800.

3. 1 能級斜率為正的情形

首先探究躍遷動力學的一些基本規律. 數值結果如圖2-4所示, 圖2展示了不同非線性強度下躍遷概率隨演化時間的變化, 圖中取k2=0.7,β=1.0,g=0.3. 可以看出隨著時間的增大, 躍遷概率會穩定在一個固定值, 且隨著非線性強度的增大持續降低, 能級間的非絕熱躍遷受到抑制. 圖3展示了不同非線性強度下躍遷概率隨耦合強度、能級斜率以及能級曲率平方變化. 其中棕色方塊線表示c=0.0的解析結果. 圖4展示了躍遷概率隨非線性強度的變化. 我們發現非線性總是抑制兩能級間的非絕熱躍遷, 且非線性強度越大, 兩能級間的非絕熱躍遷越難發生.

圖2 不同非線性強度下躍遷概率隨時間τ的變化關系.Fig. 2 The transition probabilities as time τ for different nonlinear strengths.

3.2 能級斜率為負的情形

仍先探究躍遷動力學的一些基本規律. 數值結果如圖5-7所示, 圖5展示了不同非線性強度下躍遷概率隨演化時間的變化關系, 圖中取k2=0.2,β=-1.0,g=0.3. 根據(10)式可得到相互作用的臨界值c=2.09964, 弱非線性和強非線性就分別對應于c<2.09964和c>2.09964. 可以看出隨著時間的增大, 不論相互作用的強弱, 最后躍遷概率都會到達一個穩定值. 對于弱非線性情形, 隨著非線性強度的增大躍遷概率會增加, 相互作用促進了躍遷的發生. 而對于強非線性, 躍遷動力學變得復雜. 圖6展示了不同非線性強度下躍遷概率隨耦合強度、能級斜率以及能級曲率平方的變化. 其中棕色方塊線表示c=0.0的解析結果. 為進一步揭示粒子間相互作用對躍遷動力學的影響, 計算了躍遷概率隨非線性強度的變化, 如圖7所示. 我們發現弱非線性確實會促進能級間的非絕熱躍遷, 而在強非線性時, 由于能級拓撲結構發生變化, 躍遷概率會出現振蕩, 且隨著非線性強度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 整體而言粒子間強相互作用會抑制能級間的非絕熱躍遷.

圖3 (a)k2=0.7,β=1.0時不同非線性強度下躍遷概率隨耦合強度g的變化關系; (b)k2=0.7, g=0.3時不同非線性強度下躍遷概率隨|1〉態的能級斜率β的變化關系; (c)β=1.0, g=0.3時不同非線性強度下躍遷概率隨|0〉態的能級曲率的平方k2的變化關系.Fig. 3 (a)The transition probabilities as coupling strength g for different nonlinear strengths with k2=0.7,β=1.0; (b)The transition probabilities as the slope of energy level of the |1〉 state β for different nonlinear strengths with k2=0.7,g=0.3; (c)The transition probabilities as the square of the curvature of energy level of the |0〉state k2 for different nonlinear strengths with β=1.0,g=0.3.

圖4 躍遷概率隨非線性強度c的變化關系. 參數分別取k2=0.7,β=1.0,g=0.3.Fig. 4 The transition probabilities as nonlinear strength c with k2=0.7,β=1.0,g=0.3.

圖5 不同非線性強度下躍遷概率隨時間τ的變化關系.Fig. 5 The transition probabilities as time τ for different nonlinear strengths.

4 結 論

研究了具有粒子間相互作用的兩能級系統Landau-Zener-Coulomb躍遷動力學. 研究結果表明, 在能級斜率為正和為負兩種情況下, 粒子間相互作用對能級間的非絕熱躍遷會產生完全不同的影響. 為正時, 粒子間相互作用會抑制能級間的非絕熱躍遷, 且相互作用強度越大, 兩能級間的非絕熱躍遷也就越難發生. 而為負時, 弱相互作用會促進能級間的非絕熱躍遷, 在強相互作用時, 躍遷概率會出現振蕩, 隨著相互作用強度的增大, 振蕩幅度逐漸減小, 能級間的非絕熱躍遷受到抑制.

圖6 (a)k2=0.2,β=-1.0時不同非線性強度下躍遷概率隨耦合強度g的變化關系; (b)k2=0.2,g=0.3時不同非線性強度下躍遷概率隨|1〉態的能級斜率β的變化關系; (c)β=-1.0,g=0.3時不同非線性強度下躍遷概率隨|0〉態的能級曲率的平方k2的變化關系.Fig. 6 (a)The transition probabilities as coupling strength g for different nonlinear strengths with k2=0.2,β=-1.0; (b)The transition probabilities as the slope of energy level of the |1〉state β for different nonlinear strengths with k2=0.2,g=0.3; (c)The transition probabilities as the square of the curvature of energy level of the |0〉state k2 for different nonlinear strengths with β=-1.0,g=0.3.

圖7 躍遷概率隨非線性強度c的變化關系. 參數分別取k2=0.2, β=-1.0, g=0.3.Fig. 7 The transition probabilities as nonlinear strength c with k2=0.2, β=-1.0, g=0.3.