囚禁離子非線性Rabi模型量子場熵演化特性

魯恩民， 王中結

(安徽師范大學 物理與電子信息學院， 蕪湖 241000)

1 引 言

量子糾纏一直是量子通信[1]、量子密碼[2]、量子隱形傳態[3]等方向的核心內容. 量子糾纏一詞首次出現是在1935年薛定諤發表的貓態一文中[4]，經過后人對于量子世界逐漸探索，量子糾纏才真正的被人們所接受和理解. 1982年法國Aspect實驗小組關于檢驗Bell不等式的實驗[5],宣告著人們對于量子糾纏的認識從經典論轉向量子力學范疇. 對于量子糾纏的研究成果開始爆發式的涌現，首先是在量子判據方面，Peres[6]、Schlienz[7]、Keller[8]等人分別給出了不同的解釋，其次許許多多不同的糾纏度量方法被提出，其中Phonenix和Knight等人就將熵理論應用于部分糾纏度量中[9,10]，因其既可以分析場與原子之間經典與非經典的關聯程度，又可以分析場與原子之間糾纏特性，所以近些年來，利用量子場熵來度量系統與光場之間糾纏度的研究取得了令人欣喜的結果. 2017年 Arturo Zǘniga-Segundo等人證明了混合態的原子與場的相互作用可以計算出兩倍于崩潰時間的場熵[11]. 2018年劉堂昆等人介紹了如何通過量子場熵來計算相干態光場與雙量子態的兩個原子相互作用的糾纏度等[12]. 2019年Jorge A. Anaya-Contreras等人研究了用Araki-Lieb不等式從原子熵來計算場熵[13].

本文所研究的量子Rabi模型在量子信息方面是靠量子模擬來實現，主要的量子模擬平臺有超導電路[14]，超冷原子氣體[15]，和囚禁離子平臺[16]等. 本文首次將Von-Neumann量子約化熵理論引入到囚禁離子非線性Rabi模型量子場熵演化特性的研究中，間接的研究囚禁離子與光場之間的量子糾纏，并借助計算機的模擬，給出Lamb-Dicke參數和初始平均光子數對量子糾纏的影響.

2 模型及其解

我們考慮了一個被囚禁在諧波勢阱中的離子，它與失諧的一階紅、藍邊帶光場相互作用，產生相應的失諧量，即光學RWA讀出后系統的哈密頓量:

(1)

其中，δ1=ω1-ωa+kν,δ2=ω2-ωa-kν,ωa是兩能級躍遷頻率，ω1,2是驅動激光的頻率，ν是囚禁勢頻率，σz是與這個兩能級系統相關的泡利矩陣，σ+是原子上升算符，Ω是拉比頻率. 如果我們應用振動的旋轉波近似，我們得到

(2)

式中

(3)

(4)

如果選擇k=2，我們可以得到如下的雙光子非線性Rabi模型

(5)

假設在初始時間原子處于激發態|e>，光場處于相干態|α>，系統的初始狀態為：

(6)

系統在任何時刻的波矢可以表示為：

(7)

將(7)代入由單光子非線性拉比模型的哈密頓量(4)或雙光子非線性拉比模型的哈密頓量(5)所決定的薛定諤方程，得到與和有關的相應微分方程.

3 光場與囚禁離子之間的量子糾纏演化特性

由(5)式可以得到相互作用系統的密度算符ρ(t)=|ψΙ(t)〉〈ψΙ(t)|，根據Von-Neumann量子約化熵理論，激光場的約化密度矩陣為：

ρL(t)=Triρ(t)=Tri{|ψΙ(t)><ψΙ(t)}

(8)

采用文獻[13]中的處理方法，可以得到光場約化密度矩陣的本征值為

(9)

(10)

從而我們可以得到光場的Von-Neumann量子約化熵為

(11)

4.1 Lamb-Dicke參數對量子糾纏的影響

我們取|α|2=20，Lamb-Dicke參數取不同值時，求解方程后我們可以做出數值計算，得到量子場熵隨標度時間的演化曲線如圖一所示.

圖1 Lamb-Dicke參數取不同值時，量子場熵隨標度時間的演化曲線(a)η=0.5;(b) η=0.6;(c) η=0.7;(d) η=0.8Fig. 1 Evolution curves of quantum field entropy with scaling time when Lamb-Dicke parameter takes different values(a)η=0.5;(b) η=0.6;(c) η=0.7;(d) η=0.8

圖1我們給出了|α|2=20時，Lamb-Dicke參數η取不同值時，量子場熵隨標度時間的演化曲線，我們可以看出Lamb-Dicke參數η影響著量子場熵演化曲線的周期性，Lamb-Dicke參數η較大時，周期性越來越明顯，這說明了Lamb-Dicke參數η對量子場熵起到了一定的調制作用，隨著Lamb-Dicke參數η的不斷增大，我們發現存到達某極值后調制效果達到最大隨后調制效果開始減弱. 其次量子場熵演化曲線的平均值是先變小后變大，曲線的振蕩幅度先增大而后減小，振蕩的頻率越來越慢. 這說明了隨著Lamb-Dicke參數η的不斷增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏強度先減弱后增強.

4.2 初始平均光子數對量子糾纏的影響

我們取Lamb-Dicke參數η=0.7. 初始平均光子數取不同值時，我們可以做出數值計算，得到量子場熵隨標度時間的演化曲線如圖二所示.

圖2我們可以給出了當Lamb-Dicke參數η=0.7時，量子場熵與平均光子數之間的關系，可以看出場熵的演化具有明顯的振蕩性，其次隨著初始平均光子數的增大，量子場熵的平均值是先減小后增大. 其振蕩頻率和振蕩幅度都是隨著初始平均光子數的增大，先減小后增大. 這也就是說，隨著初始平均光子數的增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏的程度先減弱后增強.

5 雙光子Rabi模型中場熵演化

5.1 Lamb-Dicke參數對量子糾纏的影響

在這一章節的研究中我們取|α|2=20，改變Lamb-Dicke參數的取值，來研究Lamb-Dicke參數對于量子糾纏曲線的影響，得到的量子場熵隨標度時間的演化曲線如圖四所示：

從圖中我們可以看出雙光子Rabi模型場熵的演化曲線有明顯的周期性，這說明原子與光場的糾纏呈現周期性的變化并且隨著Lamb-Dicke參數η的增大，場熵的周期性在逐漸消失，當Lamb-Dicke參數η較小時出現了周期性的糾纏和退糾纏即退耦現象，隨著Lamb-Dicke參數η的不斷增大，場熵的退糾纏現象消失. 另一方面，量子場熵演化曲線的平均值在逐漸增加，振蕩的頻率越來越快. 這說明了隨著Lamb-Dicke參數η的不斷增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏強度在逐漸增強. 從中我們可以看出Lamb-Dicke參數η對于場熵的演化曲線有明顯的調制作用.

圖2 初始平均光子數取不同值時，量子場熵隨標度時間的演化曲線Fig. 2 The evolution curves of quantum field entropy with scaling time when the initial average photon number is

圖3 Lamb-Dicke參數取不同值時，量子場熵隨標度時間的演化曲線(a)η=0.25;(b) η=0.30;(c) η=0.35;(d) η=0.40.Fig. 3 Evolution curves of quantum field entropy with scaling time when Lamb-Dicke parameter takes different values(a)η=0.25;(b) η=0.30;(c) η=0.35;(d) η=0.40.

圖4 初始平均光子數取不同值時，量子場熵隨標度時間的演化曲線Fig. 4 The evolution curves of quantum field entropy with scaling time when the initial average photon number is

5.2 初始平均光子數對量子糾纏的影響

在這一節中我們取Lamb-Dicke參數η=0.40，改變初始平均光子數，來探究初始平均光子數對于量子糾纏的影響.

從圖5中我們可以看出，場熵的演化曲線具有周期性，這說明光場與原子的糾纏存在周期性，隨著初始平均光子數的增大，量子場熵的平均值逐漸減小，振蕩幅度略有增加，振蕩頻率加快. 這也就是說明，隨著初始平均光子數的增大，囚禁離子與駐波激光場之間量子糾纏的程度越來越弱.

6 結 論

根據上述囚禁離子與駐波激光場之間的量子糾纏特性，我們可以選取適當的Lamb-Dicke參數η和使得初始選取恰當的光子數來制備糾纏態或純態，還可以利用這些演化特性構建有用的量子邏輯門等.