幾個重要不等式及不等式證明方法探析

呂 軍 庫福立 阿布力米提·孜克力亞*

（新疆農(nóng)業(yè)大學數(shù)理學院 新疆·烏魯木齊 830052）

0 引言

不等式是高等數(shù)學中的一個重要研究內(nèi)容，它反映了某些變量之間的某種“大小”關(guān)系。其在物理學、數(shù)值分析、工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，特別是一些重要的不等式，例如：柯西不等式、閔可夫斯基不等式、貝努利不等式等一直都是很多學者研究的熱點問題。而在高等數(shù)學中，我們的著重點是不等式的證明，不等式的證明是高數(shù)中的一種常見的題型，同時也是考研中經(jīng)常會出現(xiàn)的一種題型。由于其證明方法較多、較復(fù)雜，學生們往往感到不知從何入手，因此研究其證明方法就顯得尤為重要。本文的重點就是對其證明方法進行了歸納解析，其目的就是讓學生能更多的掌握證明方法，進一步開拓解題思路，達到學以致用的目的。

1 重要不等式

2 不等式證明方法

2.1 引入?yún)?shù)變量法

2.2 利用微分中值定理

2.3 利用函數(shù)的單調(diào)性

該方法一般適用于某區(qū)間上的函數(shù)不等式的證明，而對于數(shù)值不等式通常需要通過輔助函數(shù)的構(gòu)造來完成不等式的證明。利用單調(diào)性證明不等式的步驟如下：

2.4 利用函數(shù)的極值和最值

該方法也是適用于在某個區(qū)間上證明不等式，證明的方法和步驟與利用單調(diào)性的類似，區(qū)別在于所作的輔助函數(shù)比較的不是函數(shù)在端點處的函數(shù)值，而是極值與最值。

2.5 利用函數(shù)圖形的凹凸性

2.6 利用泰勒展開式

此方法一般適用于題設(shè)中已給出函數(shù)具有二階及其以上可導(dǎo)，并且最高階導(dǎo)數(shù)的上下界是已知的條件下。其證明的步驟如下：

2.7 利用重要不等式

2.8 利用冪級數(shù)展開式

3 結(jié)束語

通過以上對不等式的歸納總結(jié)可以看出，不等式證明的題型多種多樣，其證明的方法也是各不相同，難度較大。因此就需要學生在學習過程中能具體問題具體分析，學會靈活多變，舉一反三，深刻掌握每種證明方法的內(nèi)在特征，這樣才能較有效的解決各類不同類型的不等式證明問題。