基于GoeGebra對簡諧運動的振動圖像進行擬合

張伶霞

(首都師范大學物理系 北京 100048)

1 問題的提出

簡諧運動是學生在高中階段學習最為復雜的運動，也是中學物理教學難度較大的一種運動.其中一個重要原因是根據振動圖像獲得振動規律的教學實施存在困境.新、舊兩版教材在“簡諧運動”一節中均提出了兩種方法：

方法一，經驗公式法，即根據振動圖像猜想彈簧振子的位移與時間的關系滿足正弦函數關系，測量曲線的振幅和周期，根據數學課中已經學過的正弦函數有關知識，寫出對應的正弦函數表達式，然后在曲線中選小球的若干位置，用刻度尺在圖中測量它們的縱坐標(位移)獲得測量值，再將每個位移對應的振動時間代入到寫出的正弦函數表達式中，求出位移的計算值，比較測量值與計算值，若近似相等，則這條曲線為正弦曲線.

方法二，圖像擬合法，即測量小球在各個位置的橫坐標和縱坐標，把測量值輸入計算機，作出曲線，看小球的位移-時間關系是否可以用正弦函數表示.

但新、舊兩版教材對方法二中“作出曲線后，如何證實小球的位移-時間關系滿足正弦函數?”的操作未作具體闡述，教學難以實施.

通過對一線中學物理教師進行訪談發現，極少有教師采用過圖像擬合法獲得振動規律，主要原因是沒有進行正弦圖像擬合的工具.中學物理教師常通過Excel對圖像進行擬合，但Excel無法對數據進行三角函數的擬合.GoeGebra是一款綜合幾何和代數的數學軟件，可對數據進行繪圖，也可對三角函數圖形進行擬合，解決了對簡諧運動的振動圖像進行擬合的技術難題.

2 基于GoeGebra對簡諧運動的振動圖像進行擬合

2.1 將振動圖像轉化為數據

我們以2018年人民教育出版社出版的普通高中教材《物理·選擇性必修1》(簡稱“新教材”)中的彈簧振子頻閃照片為例.首先，將頻閃照片旋轉90°；然后，建立直角坐標系，畫振動圖像(即x-t圖)，如圖1所示；頻閃儀每隔0.05 s閃光一次，從而得到小球相鄰兩位置之間的時間間隔為0.05 s,從t=0時刻開始，用刻度尺測量圖片中各個時刻小球的位移，并記錄在Excel中，數據如表格1所示.

圖1 彈簧振子的頻閃照片

表1 振動圖像(x-t圖)的數據

t/s0.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00x/cm-0.40-1.05-1.70-2.10-2.40-2.60-2.45-2.10-1.65-1.05

2.2 代入數據進行圖像擬合

打開GoeGebra經典版軟件，點擊“表格區”，將Excel中記錄的各組時間和位移數據復制、粘貼到新建的表格區里；選中全部數據，點擊“點列”圖標，繪制各個點，如圖2所示；在左下角“輸入…”框里輸入Fit指令，選擇Fitsin()，我們將點列修改為“Fitsin(A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q,R,S,T)”,點擊回車鍵，即可生成x-t圖和擬合的正弦函數表達式g(x)=-0.06+2.49sin(5.83x+0.05)，如圖3所示，從而證實了彈簧振子模型中小球的位移-時間關系滿足正弦函數.

圖2 繪制各點

圖3 繪圖和擬合正弦函數表達式

3 結束語

通過上面的實例可見，借助GoeGebra軟件對簡諧運動的振動圖像進行擬合，解決了中學物理教師難以根據振動圖像(x-t圖)利用擬合法獲得振動規律的困境.GoeGebra軟件是一個結合了幾何、代數、微積分、數據表、圖形、統計和計算的動態數學軟件，同時具備處理代數和幾何的功能，在物理教學中具有直觀、簡潔、生動的特性，有待廣大物理教師進一步開發利用[1].