類斜拋運動探析

王 磊

(錦州醫科大學醫療學院 遼寧 錦州 121000)

拋體運動一直是高考的重要考點，主要包括平拋運動、斜拋運動、類平拋運動和類斜拋運動，通常以帶電粒子在勻強電場、重力場組成的復合場的運動為背景，全面考查學生建構物理模型及應用數學知識解決物理問題的能力[1].

類斜拋運動是指初速度方向與合外力方向不垂直的勻變速曲線運動，其他拋體運動都可以看成類斜拋運動的特殊情況，具體關系如圖1所示.

圖1 類斜拋運動與其他拋體運動的關系

對于勻變速曲線運動，總的處理思路是化曲為直，通常利用合運動與分運動之間的獨立性、等時性、等效性，轉化為兩個相互垂直的直線運動，以方便求解.類斜拋運動類型多，情況復雜，要根據實際情況選擇分運動[2].

1 只受一個力

將粒子初速度分解到沿著力和垂直力方向，沿著力方向按照勻變速直線運動處理，垂直力方向按照勻速直線運動處理.

【例1】如圖2所示，平行板電容器兩極板的間距為d，極板與水平面成45°，上極板帶正電.一電荷量為q(q>0)的粒子在電容器中靠近下極板處，以初動能Ek0豎直向上射出.不計重力，極板尺寸足夠大，若粒子能打到上極板，則兩極板間電場強度的最大值為( )

圖2 例1題圖

解析：帶電粒子只受電場力，方向垂直平行板向右下.將粒子的速度v0分解為垂直于板的vy和平行于板的vx，如圖3所示.

圖3 粒子速度v0分解圖示

粒子初速度在垂直于板的方向的分速度

電場足夠大時，粒子到達上極板時速度恰好與上極板平行，即粒子垂直于極板方向的速度v′y=0.

根據運動學公式有

又知

聯立以上各式，得

故選項B正確.

2 受到兩個垂直的力其中一個力與速度共線

粒子在兩個力的方向均按照勻變速直線運動處理.

圖4 例2題圖

(1)小球的初速度v0；

(2)電場強度E的大小.

解析：假設小球初速度為v0，運動到管口所用的時間為t.

(1)小球在豎直方向做自由落體運動，有

在水平方向上做末速度為零的勻減速直線運動，有

聯立解得

(2)水平方向，根據牛頓第二定律，有

qE=ma

由運動學公式，有

聯立解得

3 受到兩個垂直的力兩個力與速度均不共線

將粒子初速度分解到兩個力的方向，兩個方向均按照勻變速直線運動處理.

【例3】如圖5所示，一個充好電與電源斷開的豎直放置的平行板電容器，左極板帶負電，右極板帶正電，板間電場可視為勻強電場.一個質量為m，帶電荷量為-q的油滴，從點O以速度v射入板間，v的方向與水平方向成θ角，油滴到達運動軌跡的最高點N(圖中未標出)時，速度大小又為v，并恰好垂直打在電容器的極板上，重力加速度為g.求：

圖5 例3題圖

(1)最高點N與點O的電勢差UNO；

(2)板間的場強E的大小.

解析：油滴到達最高點N時速度大小為v，方向水平.

油滴從點O到點N運動過程中，由動能定理有：WG+W電=0，重力做負功，所以電場力一定做正功.油滴帶負電，最高位置一定在點O的右上方，即垂直打到右板上.

(1)油滴在水平方向做勻加速直線運動，初速度為vcosθ，末速度為v.

由動能定理得

解得

(2)油滴在豎直方向上做豎直上拋運動，初速為vsinθ.

油滴由O運動到N的時間

水平方向的位移

電場強度大小

4 受到兩個共線的力

將粒子初速度分解到沿著力和垂直力方向，沿著力方向按照勻變速直線運動處理，垂直力方向按照勻速直線運動處理.

【例4】如圖6所示，在空間中水平面MN的下方存在豎直向下的勻強電場，質量為m的帶電小球由MN上方的A點以一定初速度水平拋出，從B點進入電場，到達C點時速度方向恰好水平，A，B，C3點在同一直線上，且AB=2BC，由此可知( )

圖6 例4題圖

A.小球帶正電

B.電場力為3mg

C.小球從A到B與從B到C的運動時間之比為2∶1

D.小球從A到B與從B到C的速度變化量大小相同

解析：小球從A到B為平拋運動，從B到C為類斜拋運動，本題可按照運動的獨立性處理.

在水平方向，小球從A到C運動過程中始終做勻速直線運動.又AB=2BC，小球從A到B與從B到C的運動時間之比2∶1，故選項C正確.

在豎直方向上，小球從A到B為自由落體運動，從B到C為末速度為零的勻減速直線運動.

電場力方向向上，場強方向向下，則小球帶負電，故選項A錯誤.

設小球在B點的豎直速度為v，在AB段，有

v=gtAB

在BC段，有

又

Eq-mg=ma

解得

Eq=3mg

故選項B正確.

小球從A到B與從B到C的水平速度不變，豎直方向速度變化量大小相同，故選項D正確.

故答案為選項B，C，D.

5 受到兩個不垂直不共線的力其中一個力與速度共線

將與粒子速度不共線的力分解到速度方向和垂直速度方向，兩個方向均可按照勻變速直線運動處理.

【例5】(原創題)如圖7所示，在地面上方區域存在足夠大的勻強電場，電場強度為E，且與豎直方向夾角為θ.一質量為m，帶電荷量為+q的小球從地面上A點以初速度v0豎直向上拋出，落到地面上B點(圖中未標出)，重力加速度為g.求：AB間的距離.

圖7 例5題圖

解析：帶電小球從A到B運動的過程中，豎直方向做勻減速直線運動，加速度為

從A到B的時間

在水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，加速度

AB間的距離

6 受到兩個不垂直不共線的力兩個力與速度均不共線

此類情況單純考慮分解力或者分解速度會有多種情形，處理時較為復雜.這里給出一種通用的方法——正交分解法，因力和速度都是矢量，可使盡可能多的矢量在坐標軸上，將不在軸上的矢量分解到坐標軸上，再對坐標軸方向分別列方程求解.對于所有情形類斜拋運動，此方法均可方便求解.

【例6】如圖8所示，空間存在一勻強電場，與水平方向的夾角為30°，AB與電場垂直，一質量為m，電荷量為q的帶正電小球以初速度v0從A點水平向右拋出，經過時間t小球最終落在C點，速度大小仍是v0，且AB=BC，求：

圖8 例6題圖

(1)電場強度E；

(2)小球下落高度h.

解析：由A點向BC作垂線，交BC于M；由C點向AB作垂線，交AB于N，如圖9所示.

(1)小球在下落過程中初末速度不變，由動能定理可知

WG+W電=0

即

mg·ABsin∠ABM-Eq·BCcos∠BCN=0

解得

由于帶正電小球在下落過程中重力做正功，則電場力做負功，故電場強度方向斜向下.

(2)將電場力按照水平方向和豎直方向分解，在水平方向，有

在豎直方向，有

小球下落高度

綜上，處理類斜拋運動需根據實際情況分解力或分解速度.如果從力和速度的矢量特性出發，采用正交分解法，將不在軸上的矢量分解，所有情景均可方便求解.對于類平拋運動等拋體運動，此方法依然適用.