均質(zhì)細直桿在光滑半圓槽內(nèi)運動的研究

羅 正

(北京理工大學(xué)精工書院 北京 102488)

1 提出問題

小球在光滑半圓槽內(nèi)的運動是講解動量守恒時常用的模型.如果將小球換成均質(zhì)細直桿，那么對于均質(zhì)細直桿的運動就無法用質(zhì)點運動學(xué)的知識進行求解.均質(zhì)細直桿是剛體，剛體運動因具有角速度而有別于質(zhì)點運動，所以需要應(yīng)用剛體運動學(xué)和動力學(xué)的相關(guān)知識進行推導(dǎo).本文將以如下題目為例，通過兩種方法求解均質(zhì)細直桿在光滑半圓槽內(nèi)的運動.

在圖1所示的豎直平面內(nèi)，質(zhì)量m1=3m，半徑為r的光滑半圓槽放置在光滑水平面上，其中放置有質(zhì)量m2=m，長度為r的均質(zhì)細直桿AB，初始時刻A端位于半圓槽左頂點處.系統(tǒng)無初速度釋放，求桿AB發(fā)生30°轉(zhuǎn)角的瞬間，桿AB的角速度.

圖1 半圓槽-均質(zhì)細桿系統(tǒng)

2 用動量守恒和機械能守恒求解桿AB的角速度

如圖2所示，半圓槽沿水平方向做直線運動，桿AB的質(zhì)心C相對于半圓槽以動點O為圓心做圓周運動.

圖2 速度分析

設(shè)質(zhì)心C的速度為vc，半圓槽速度為v0，質(zhì)心C相對于半圓槽的速度為vr.以半圓槽為參考系，選取質(zhì)心C為動點，根據(jù)伽利略速度變換有

vc=v0+vr

(1)

m1v1x+m2vcx=0

有

(2)

整理得

(3)

在系統(tǒng)運動的過程中，只有桿AB的重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒.初始時刻系統(tǒng)的動能T0=0，末了時刻系統(tǒng)的動能為

(4)

設(shè)半圓槽最低點，也即末了時刻桿AB上B點所在的位置為零勢能點.則初始時刻系統(tǒng)的勢能

末了時刻系統(tǒng)的勢能

根據(jù)機械能守恒定律

T0+V0=T1+V1

有

(5)

根據(jù)系統(tǒng)末了時刻的運動狀態(tài)，可知桿AB沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，角速度方向垂直紙面向外.化簡式(5)，角速度大小為

(6)

3 用瞬時法求解桿AB的角速度

上一節(jié)給出了用動量守恒和機械能守恒求解桿AB角速度的方法.本節(jié)將從系統(tǒng)運動瞬時狀態(tài)的角度切入，給出此題的另一種解法.

(7)

其中

ω和α分別為桿AB的角速度和角加速度.桿AB的轉(zhuǎn)動角度為φ時，假定各加速度方向如圖3所示.

圖3 加速度分析

在系統(tǒng)運動的過程中，半圓槽和桿AB組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力，根據(jù)質(zhì)心運動定理可知

(8)

整理得

(9)

(10)

桿AB的重力對動點O產(chǎn)生的力矩MO為

(11)

對桿AB使用相對動點O的動量矩定理

在垂直紙面方向上投影得到標量方程

(12)

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)，整理得

(15)

考察式(15)發(fā)現(xiàn)，等式左側(cè)可以合并為

即

(16)

(17)

4 基于MATLAB的數(shù)值模擬

圖5 ω-t曲線

(18)

圖6 運動周期隨質(zhì)量比的變化曲線

5 結(jié)束語

本文通過兩種方法解出了例題中桿AB的角速度，利用MATLAB數(shù)值模擬清晰直觀地分析了系統(tǒng)的周期性運動，又討論了半圓槽與均質(zhì)細直桿的質(zhì)量比對系統(tǒng)運動周期的影響，給出了均質(zhì)細直桿在光滑半圓槽內(nèi)運動的綜合性研究.