帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的單元教學思路與框架

李 芳 涂 杰

(廣東肇慶中學 廣東 肇慶 526060)

單元教學設計是發展核心素養的重要途徑，抓住大概念、大思路、大情景與大問題是可行的也是必要的[1].按照科學大概念理念可得出，大概念是有組織、有結構的知識和模型[2].帶電粒子在勻強磁場中的運動所涉及的物理知識較少，只有洛倫茲力提供向心力的公式和周期公式，該部分內容一直是高考重點考查對象，且難度較大.經統計近些年有關帶電粒子在勻強磁場中運動的文獻，以分類解題類居多，也有對帶電粒子在磁場中運動的模型進行分類研究[3]，但模型之間缺乏關聯，不能形成有組織、有結構的模型.因此在大概念教學理念背景下，對該內容的教學研究非常有意義.

1 教學內容分析

1.1 帶電粒子在勻強磁場中運動的特點

(1)忽略重力，帶電粒子只受洛倫茲力，且洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動.

(2)軌跡為圓，任一點切線方向即為速度方向.

(3)帶電粒子在磁場中的繞行方向由磁場方向和帶電粒子的帶電性質共同決定，滿足左手定則.

高考考查帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的情景一般具有這樣的特征：帶電粒子會從某點進入勻強磁場，再從另一點射出磁場區，多個組合磁場，周期性變化的磁場等都可以按這個思路去分析.帶電粒子的軌跡一般情況下是不完整的圓周，入射點和射出點即軌跡圓周與磁場邊界的兩個交點，兩交點的連線即軌跡圓的一條弦.

1.2 解題基本步驟

確定圓心、半徑、畫軌跡.通常用兩種方法確定圓心位置：過軌跡上兩點作的速度方向的垂線，垂線交點就是圓心；弦的中垂線和軌跡上某點速度方向垂線相交于圓心.因此，弦對于確定圓心非常關鍵.

1.3 常見設問

(1)與半徑有關的幾何問題，半徑作為物理模型和幾何模型的紐帶.分為兩種情況：

1)已知物理量(如速度、磁場、比荷等)得半徑，求得幾何關系；

2)已知幾何關系得半徑，求得物理量.

弦長與半徑和圓心角有關，因此分析此類問題可以從弦入手.

(2)與時間有關的問題.帶電粒子在勻強磁場中運動的時間與弧所對應的圓心角有關，在半徑一定的情況下，弦長與圓心角有一一對應的關系，因此可以通過弦長確定運動的時間.

2 帶電粒子在勻強磁場中運動的模型建構

構建模型是解決問題的常用方法，是培養學生科學思維的重要組成部分，本單元模型構建是將帶電粒子的運動過程轉化為幾何模型，利用幾何關系解決問題.不失一般性，作帶電粒子在某勻強磁場中運動軌跡模型圖，如圖1所示.

圖1 帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的軌跡模型

實線圓弧為帶電粒子在磁場中的實際軌跡，為了更方便研究幾何關系，特地用虛線將圓周補充完整.聚焦平面幾何圓與直線的性質，按從點到線，線到角的思路，確定幾何關系和物理內涵.

表1反映了構建模型的思路，含有括號的為物理名詞或物理量，通過建模將幾何量和物理量一一對應起來.

表1 帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的模型建構思路

3 解題思路

大概念教學理念下，以“弦”為分析問題核心和以“半徑”為解決問題核心框架.

本單元解決問題的思路是運用與弦的相關幾何性質，結合題目所給條件，來確定入射點和射出點，從而確定圓心、半徑、軌跡，再求解相應的幾何量.根據解題思路，提出了帶電粒子在勻強磁場中運動的分析和解決問題框架，如圖2所示.框架左側部分為分析過程，框架右側部分為求解過程.

圖2 以“弦”為分析問題核心和以“半徑”為解決問題核心框架

3.1 分析過程

分析過程主要是構建模型，根據題目所給信息，確定弦，從而確定圓心半徑.關于如何確定弦，一般有以下兩種情況：

(1)已知入射點和射出點位置，兩點連線即弦；

(2)已知初、末速度方向和入射點(射出點)，能確定弦，這利用了弦所在直線是初速度方向和末速度方向的角平分線性質.

臨界條件和極值條件主要是用于確定末速度方向和射出點位置，從而輔助其他條件確定弦.比如臨界條件有恰好不從某條邊界出磁場，可以確定臨界末速度方向與該條邊切線方向一致；極值條件有最遠的射出點，或者從哪一點射出時間最長等，在這種情況下，可以利用弦為直徑時最長的性質確定最遠的點，或者當弦切角最大時，在磁場內運動的時間最長等.

若弦已確定，入射點和射出點、半徑、圓心角、軌跡等都能很容易確定了.確定弦的目的主要是為了確定圓心、半徑、軌跡，構建帶電粒子在勻強磁場中運動的幾何模型.

3.2 求解過程

求解過程是建立在以半徑為中間量進行的，待運動模型建立后，只需要利用幾何關系和半徑、周期公式便可以求解設問了.

以弦為核心的分析問題和以半徑為核心的解決問題框架，能解決大多數帶電粒子在勻強磁場中運動的各種問題，比如臨界問題、極值問題、直線邊界、圓形邊界等.該框架抓住了弦作為幾何模型核心以及半徑r作為連接幾何模型和物理模型的橋梁，容易找到突破口，解題方便快捷.

4 用框架分析典型例題

圖 3 例1題圖

分析：根據例1所給信息，已知入射點位置、入射方向、末速度方向，利用弦所在直線是初速度和末速度方向夾角的角平分線，因此過入射點畫一條與初速度方向夾角為30°的直線，與圓形磁場的交點即為射出點，便很容易確定了圓心、半徑、軌跡，如圖4所示.由幾何關系不難得到兩圓心和兩圓交點構成的四邊形為菱形.故答案為選項B.

圖 4 例1解析圖

【例2】(2013年高考海南卷)如圖5所示，紙面內有E，F，G3點，∠GEF=30°，∠EFG=135°，空間有一勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外.先使帶有電荷量為q(q>0)的點電荷a在紙面內垂直于EF從F點射出，其軌跡經過G點；再使帶有同樣電荷量的點電荷b在紙面內與EF成一定角度從E點射出，其軌跡也經過G點.兩點電荷從射出到經過G點所用的時間相同，且經過G點時的速度方向也相同.已知點電荷a的質量為m，軌道半徑為R，不計重力，求：

圖5 例2題圖

(1)點電荷a從射出到經過G點所用的時間；

(2)點電荷b的速度大小.

分析：如圖6所示，從F點出發的a經過G點，FG即為弦，且弦切角為45°，因此末速度方向水平向右；根據題目所給條件，b的入射點和射出點分別為E和G，因此線段EG即為b在此過程圓周運動的弦，因為與a末速度方向相同，延長EG，與末速度方向夾角等于弦切角，所以入射速度方向與水平方向夾角為60°，圓心角也為60°，求解過程略.

圖6 例2解析圖

圖7 例3題圖

分析：根據題目所給條件，已知入射點和初速度方向，因為速率不同，所以粒子射出磁場位置會分布在ab半圓弧上.由與周期與速率無關，粒子在磁場中運動時間取決于圓心角，根據幾何性質，圓心角等于弦切角2倍，所以當弦切角最大時時間最長.過入射點作一條直線相交于半圓，入射點到交點的線段即為軌跡圓周所對應的弦，當該直線與圓周相切時，弦切角最大，如圖8所示，根據幾何關系，最大圓心角為240°.

圖 8 例3解析圖

圖9 例4題圖

分析：依題意，帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為一定值，根據框架的思路，α粒子打在ab板的點為射出點，S點為射入點，兩點連線即為弦，因為入射點位置固定，所以當弦為直徑時，打在ab板位置最遠，在確定了α粒子繞行方向后，便很快能確定A點為右側最遠點，SA為直徑，如圖10所示.但左側最遠處不是弦為直徑時對應的位置，這里要考慮一個實際情況就是，α粒子不能穿過ab板且速度無損失的情況下繞回來，這個極值問題也是一個臨界問題，不難想到，當軌跡與ab板相切時，切點B為在左側最遠的點，臨界末速度方向確定，半徑大小已知，因此可以作一條平行于ab板且間距等于半徑大小的輔助線，圓心必定在此輔助線上，就可以確定圓心的位置了，當然此種情況不需要確定弦，我們確定弦最終的目的是需要找到圓心、半徑、軌跡.AB段長度即為被α粒子打中的區域的長度.

圖10 例4解析圖

依據框架分析和解決帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的問題，不必歸類分析，框架具有高度的概括性，只要抓住“弦”不放手，便能找到突破口.圍繞模型構建和該框架進行教學，教學結構明確，思路清晰，更重要的是能培養學生分析和解決問題的關鍵能力.