學生運算能力的培養(yǎng)
——以“乘法分配律”的教學、推廣和復習為例

江蘇啟東市圩角小學（226200） 朱建玉

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”簡算能充分鍛煉學生思維的靈活性，對提高學生的運算能力起著重要的作用。在教學實踐中，筆者發(fā)現學生在運用乘法分配律進行簡算時出現差錯最多，因而在“乘法分配律”的教學、推廣和復習中，筆者想方設法讓學生從乘法分配律左右形式變化而結果不變中體會“變與不變”的哲學思想，從而理解并掌握乘法分配律的本質，進而培養(yǎng)學生的運算能力。

一、乘法分配律的教學

教學乘法分配律時，教師通常先和學生一起復習教材中的相關知識，再根據學生復習相關知識時的回答進行板書：

（a+b）×c=a×c + b×c

（16+34）×57=16×57+34×57

（28+16）×24=28×24+16×24

（132+245）×13=132×13+245×13

……

師：乘法分配律的字母表達式和這幾組等式左右兩邊各有什么特點？

生1：左邊都有一個括號，括號里是兩個數相加，括號外面是乘一個數。

生2：右邊是兩個乘法算式相加。

生3：這兩個乘法算式中有相同的乘數。

生4：也可以是一個乘法算式和一個數相加，所加的這個數和乘法算式中的一個乘數相同。

師：可以舉例嗎？

生4：17×9+17，表示9 個17 加1 個17，就可以寫成（9+1）×17。

師：大家聽懂了嗎？乘法分配律左邊是怎么變成右邊的呢？

生5：用括號里面的數分別乘括號外面的數。

師：這里“分別”一詞用得好！

生6：括號里的兩個加數都要乘括號外面的那個數。

師：那么原來括號里的那個加號呢？

生7：用括號里面的數分別乘括號外面的數，這兩個乘法算式中間的加號就是原來括號里的那個加號。

生8：我覺得乘法分配律左邊的加號也可以改成減號。

師：具體說一說。

生9：如果左邊是（28-16）×24，那么右邊就等于28×24-16×24，因為28 個24 減去16 個24 就等于12個24，而12個24不就是（28-16）×24嗎？

師：大家覺得有道理嗎？請舉例驗證。

師（在學生交流展示后，補充乘法分配律的字母表達式）：（a+b）×c=a×c+b×c 或者（a-b）×c=a×cb×c。

師：那乘法分配律右邊怎樣變成左邊的樣子呢？

生10：找到兩個乘法算式中的相同乘數，寫在括號外面，兩個乘法算式中的不同乘數寫在括號里。

……

這樣的教學，不僅能讓學生掌握乘法分配律的“形”的特點，還能讓學生掌握乘法分配律內在的“質”，在頭腦中建立意義上的聯(lián)系，為正確使用乘法分配律打下堅實的基礎。

二、乘法分配律的推廣

為了有效完成乘法分配律從整數到小數和分數的遷移，應要做到以下兩點。

（一）重視辨錯訓練，積累解題經驗

在乘法分配律的推廣階段，學生已經學了四則混合運算和所有的運算律，但前攝抑制和后攝抑制嚴重影響了學生合理、靈活地進行相關的運算。因此，在推廣乘法分配律時，教師應設計一些有針對性的辨錯訓練題，幫助學生積累解題經驗。

例如，設計“5.4×0.9+0.1”和“5.4×（0.9+0.1）”辨錯訓練題，讓學生知道不能一看到0.9 和0.1 就不顧運算順序，盲目配成1；設計“125×4×25×8”和“125×8+25×4 ”辨錯訓練題，幫助學生辨清什么時候應用乘法結合律，什么時候應用乘法分配律；等等。

辨錯訓練可使學生進一步理解運算律的真正含義，把握住簡便運算的精髓。

（二）熟記常用數據和規(guī)律，洞察奧秘

整數運算律推廣到小數和分數四則混合運算后，有的學生一見題目中既有分數又有小數或者百分數，就茫然無措。這就要求學生熟練掌握分數、百分數和小數之間的相互轉化，同時能夠熟記一些常用的數據。如等。這樣，學生在做之類的題目時，就能在較短的時間內發(fā)現三個不同乘數相加和正好是1，從而實現簡算。

在簡算中，學生經常拆數有誤。因此，在推廣乘法分配律時教師應重申拆數的原則：拆數前后一定要保持相等，一般是把一個約等于1 或約等于整十、整百的數拆成1、10、100 后再加上或減去零頭，如10.1拆成10+0.1、999拆成1000-1等。

總之，教師要有意識地引導學生熟記常用數據和規(guī)律，洞察算式的奧秘，使學生能靈活應用定律進行簡算。

三、乘法分配律的復習

在乘法分配律的復習中，教師應創(chuàng)設生活情境，給予學生經驗支撐，同時強化變式訓練，從而促進學生透徹理解乘法分配律，提升運算能力。

（一）創(chuàng)設生活情境，理解定律

出示應用題1：小明在華聯(lián)超市買了3.8 元一本的筆記本8 本，后來又在文峰超市買了同樣單價的這種筆記本2 本，而小強在文峰超市一下子買了這種筆記本10本。兩個人花的錢同樣多嗎？

生（齊）：同樣多。

師：誰能結合乘法分配律來說明一下？

生1：小明用掉的錢為3.8×8+3.8×2=3.8×（8+2）=3.8×10，小強用掉的錢為3.8×10，他們都用掉38元，所以同樣多。

生2：小明用掉的錢為8個3.8加上2個3.8共10個3.8 元，小強用掉的錢為10 個3.8 元，所以他們用掉的錢同樣多。

師：你能歸納一下相關算式具有什么特點嗎？

生3：兩個乘法算式相加減，并且乘法算式中有相同乘數。

生4：兩個乘法算式中的不同乘數相加減后得數為整數，才能使計算簡便。

出示應用題2：文峰超市7 月份前30 天銷售奧克斯空調100臺，7月31日銷售奧克斯空調2臺，每臺4200元，7月份奧克斯空調銷售額共多少錢？

生5：4200×（100+2）=4200×100+4200×2=420 000+8400=428 400元。

師：結合乘法分配律，說說怎么使計算簡便。

生6：用括號里面的數分別乘括號外面的數。

生7：括號里面的一般是整十整百數加或減較小的自然數或者是一個整數加減0.1、0.2 之類的小數。

這樣，聯(lián)系生活創(chuàng)設情境既為學生理解乘法分配律提供了經驗支撐，又使學生深刻理解乘法分配律，同時對什么情況下應用乘法分配律可使計算簡便有了一個整體系統(tǒng)的認識。

（二）強化訓練，提升能力

教師應強化乘法分配律的變式訓練，使學生通過習題訓練學會靈活應用乘法分配律解題。

1.（a+b）c表達式的變式

（1）括號內多個數混合加減

生1：原式

生2：利用乘法分配律，用括號里面的分數分別乘括號外面的48，正好都可以約分，使計算簡便。

師：友情提醒，一定要認清括號內的運算符號，以免出現不必要的錯誤。

（2）沒有括號內兩個數的加或減，只有兩個數相乘

師：10.1×0.38 這道題連括號都沒有，也能應用乘法分配律，誰會解？

生3：可以把10.1拆成（10+0.1），則10.1×0.38=（10+0.1）×0.38=10×0.38+0.1×0.38=3.8+0.038=3.838。

（學生小組討論交流）

生4：因為第一個乘數的分母是137，要想計算簡便，應把第二個乘數拆成137-1，這樣137 和137可以約分。

2.算式ac+bc表達式的變式

（1）只有一個乘法算式加減一個數

師：3.7×99+3.7 這道題大家都會解，主要有兩種算法。

解法1：3.7×99+3.7

=3.7×（100-1）+3.7

=3.7×100-3.7×1+3.7

=3.7×100

=370

解法2：3.7×99+3.7

=3.7×99+3.7×1

=3.7×（99+1）

=3.7×100

=370

師：這兩種算法對嗎？你更喜歡哪一種？在小組內交流。

（學生小組討論交流）

師：兩種算法都對，同學們可以選擇自己覺得最簡便的算法。

（2）多個乘法（除法）算式相加減

師：5.75×0.65+534÷4+5.75×10% 這 道 題 該 怎樣解？

生5：相等，第一步可以把分數、百分數都改寫成小數，除法改寫成乘法，如5.75×0.65+

師：通過分數、百分數和小數之間的相互轉化和把除法轉化成乘法，找出了相同乘數，問題就迎刃而解了。

（3）看似找不到相同的乘數

師：0.65×15+6.5×8.5這道題怎么解呢？我找不到相同的乘數。

生6：可以通過改寫的方法找到相同的乘數。如0.65×15+6.5×8.5=6.5×1.5+6.5×8.5。

師：0.65×15 怎 么 就 變 成 了6.5×1.5，根 據 是什么？

生7：一個乘數擴大10 倍，另一個乘數縮小10倍，積不變。

生8：根據小數乘法的計算法則，0.65×15 和6.5×1.5 都是先算65×15，然后在積里點兩位小數，所以它們的積肯定一樣。

師：這樣就能找到相同的乘數了。大家會做了嗎？再練一題。（出示：7.45×14.3-74.5×0.43）

……

變式訓練，使學生能全方位、多角度地思考問題，很好地培養(yǎng)和發(fā)展了學生的求異思維、發(fā)散性思維和逆向思維。

綜上，在乘法分配律的教學、推廣和復習中，教師應充分把握好知識的“生長點”與“延伸點”，在課堂上對學生進行價值引導、智慧啟迪和思維點撥，從而使學生不僅會正確熟練地進行計算，還能根據題目的條件尋求合理、簡潔的運算途徑來解決問題，從而培養(yǎng)學生的運算能力。通過培養(yǎng)學生的運算能力，做到學科教學和素養(yǎng)培育有機結合，讓數學教學服務于人的發(fā)展。