指導高中生撰寫數學建模論文的意義與策略

北京市第十五中學 吳宏宇

北京市高中數學建模競賽從1998年開始，由首都師范大學組織并實施，建模競賽分為兩部分，一部分是知識競賽，另一部分是數學論文的撰寫，到現在已經舉辦了23屆競賽。這項比賽給學生提供了一個平臺，提供了一個豐富自我，與同伴交流、分享、合作的機會。同時這項比賽促進了教師對數學建模更加深入的理解，積累更多指導學生做數學建模的具體經驗。北京市第十五中學在寫建模論文方面有著優秀的傳統，在歷屆比賽中也都取得了很好的成績，并且將部分優秀成果收錄在唐安華主編《思維與創造》《數學之眼看世界》兩本論文集中。本文筆者結合組織學生參加數學建模論文部分的競賽，談一下在這個過程中的感悟與收獲。

一、構建小組，形成學習共同體

在小組的規模上，筆者要求每個寫論文的小組成員人數2 3人，小組內能和諧地合作交流，合理分工，提高效率。從知識競賽結束以后，就可以確定參與復賽（也就是論文部分競賽）成員的名單，筆者將學生進行分組，組織學生有計劃地安排后續的活動。小組組合的模式多種多樣，都各具特色，有的是男生、女生搭配，在后面的后續工作中，男生在采集數據方面點子多、有膽量、不怕辛苦，而女生在分析數據時更心細，易發現統計后數據的微妙變動。有的小組合作后在合作體會上寫道：“他的一些處理方法，使我茅塞頓開，原來數學這么有意思”。還有的小組是由有共同愛好的學生組合在一起，這樣的兩名學生組合做事情更有動力，動力源于他們對同一件事情的熱愛，他們在某個領域鉆研很深，有時候在討論一個問題時討論研究的角度可以互補，考慮問題更全面。在合作體會上他們最大的感悟是通過共同研究，對某一專業方面有了更深刻的體會，立志高考后考同一所大學的同一專業。還有小組是能力互補型，小組中有的學生善于在生活中發現問題、獲取靈感，易捕捉到有待研究開發的關鍵點，找到開展研究的很好抓手，但是在轉化成數學模型時有困惑，而另一名學生在研究數學問題時更有方法、有想法。有的學生在用電腦處理數據時，對一些分析數據的軟件應用得心應手，對更好地解決問題很有幫助。在合作體會中有學生寫道：“他太善于發現問題了，而且總有奇思妙想，看上去不起眼的問題，卻能讓我們大做文章，很開心。”“我倆在應用電腦這件事情上差距有點大，我也要好好學習，新的分析數據軟件功能太強大了，對未來的數學學習會很有幫助的。”正是這些有特色的小組構成使得研究更有意義，極大地培養了學生的核心素養，為論文撰寫打下良好的基礎。

二、研究范例，了解撰寫數學建模論文的結構

筆者會組織學生，讓學生先了解數學建模論文的完整結構，給他們提供一個以往學生寫論文的完整范例。一篇完整的數學建模論文大致包含：摘要、關鍵詞、引言、模型建構與分析、結論、優缺點分析及改進措施、感悟、致謝、參考文獻，這樣的環節可以讓學生清楚自己要完成論文的大致結構，做到心中有數。同時，我們還會具體地指出每一部分的基本內容與基本要求。例如，摘要部分是對本文研究的問題以及研究價值做一個初步分析與介紹。引言部分要說清楚的是問題背景以及如何想到要研究這個問題，通常也稱為“選題”。而模型建構則主要是將要研究的問題、實際問題數學化的過程，也就是通過合理地簡化與假設，將實際問題轉化為數學問題，明確使用的數學模型，并大致對所選模型的合理性做出說明。模型分析，則是對轉化后的具體問題做出數學分析與解決，借助相應的數學模型以及數學知識求解出所選模型中的具體參數，形成明確的數學結果，對實際問題進行解釋與檢驗。如果符合實際則完成下一個步驟；如果不符合實際情況，就需要修正自己的數學模型，甚至重新選擇更為合理的模型刻畫之前的問題。結語部分，是指所選問題的研究成果，對實際生活的價值是什么，對實際生活有哪些具體的指導意義。優缺點分析，則是指由于數學建模論文研究的問題絕大多數是來源于實際生活問題，而影響問題的因素非常多，有時候還比較復雜，當我們借助數學模型刻畫這個問題時，必然會忽略一些次要因素對問題結果的影響，有時會帶有自己的主觀意識，而有時候我們的假設也帶有一定的理想性，與現實生活中的情況往往是不完全符合的，所以我們研究的結論必然帶有一定的局限性，在文末需要加以說明。同時，分析模型的優缺點，也會給我們指明進一步研究的方向。

三、選題，確定研討內容，制訂研討方向和策略

在實際操作中，大致上有三個方面的“難點”。一是“如何選題”；二是“如何數學描述”；三是“數據的測量”。而我們遇到的最大問題就是“選題”，來自生活實際的問題，學生包括教師都會感到，有時候總有兩種感受不自覺地干擾我們，一種是“這個問題已經得到了很好的解決，不需要我們再來討論，找不到可以研究的點”；另一種是“這個問題太復雜了，影響因素太多，不太好轉化或提煉成為數學問題，找不到現實與數學的契合點，我們沒法再來討論”。以上兩種感受，是接觸過數學建模論文撰寫的絕大多數學生和教師的最真實感受。的確，數學建模“最難”的部分就是選題，因為它必須是一個來源于實際的“真問題”，而不是一個人為編制的、有現成解法的“數學應用題”，需要我們發現身邊存在的真實問題。同時我們不得不說，限于高中生的知識水平，我們能解決的即使是純數學問題，都有很大的局限性。

舉一個例子，筆者曾指導學生寫過一篇《關于合理調整后視鏡的角度以減少后視鏡視覺盲區的探究》的文章，這個問題來源于筆者在開車的過程中，會遇到汽車并線時，當相鄰車道行駛的汽車在車頭未達到司機視線余光范圍內時，司機會有一個視覺的盲區，行駛過程中如果不注意，僅憑借感覺的支配，有可能就會發生碰撞。這樣的感受大多數司機都產生過，所以在行駛中并線時，駕駛員必須小心駕駛，同時如果能合理地調整后視鏡的角度，會有效降低風險。

所以，結合自己的生活經驗也是一個方式，學生之間可以相互啟發，把自己在生活中遇到的一些問題嘗試著進行自然語言的描述，進一步看能否可以試著進行數學角度的描述，這也是產生“選題”的一種很好的方式。例如，“紅綠燈時間長短的設計，緩解路口的交通”“北京三環路公交車站進站點的選址問題”“大型車轉彎時后視鏡的安裝以減少盲區的探究”“冷凍豬肉最佳解凍時長的探究”“紅外線報警器的合理設置”“塑料袋提手的設計”“抽水馬桶省水設計的問題”等。

四、用數學語言描述問題，收集數據解決問題

撰寫論文的一個難點是“數學描述”，有的問題確實是不容易進行數學描述，或者說不太容易量化，或者沒有一個比較明確的標準，需要自己尋找或者定義具備科學性、比較合適的量化標準。也就是怎樣把實際問題中的指標數量化，用怎樣的方式刻畫某一個現實問題中的指標。如“豬肉解凍的標準是什么”“塑料袋提手的舒適度”“用什么量刻畫路口的擁堵狀況”“放置一段時間后，怎樣衡量桶裝水的質量”等。對數據的測量是另一個“難點”，如何測量相應的數據，絕不能僅是從網站查找、下載現成的數據，多數情況下需要實際、實地測量，需要花時間和精力，這也是學生完成數學建模論文的一個難點，同時一些數據的獲得也有一定難度，需要借助一些科學儀器，比如，“教室內二氧化碳的含量的測量”“打開包裝后的熟食最多放置多久”“凍肉解凍后可以再冷凍幾次”等。

五、教學相長，師生共同進步

當然，教師指導學生完成論文的過程，更多時候是跟學生一起研究的過程。學生會完整地經歷數學建模的全過程，完整地經歷論文撰寫的全過程，體會到問題研究的困難與樂趣。而教師同樣收獲很多，在與學生一起研究問題的過程中，既能增進師生的情感交流，又能參與到更多的課題研究中，教師的視野將會變得更豐富，能積累更多的具體指導經驗。

數學建模對學生的數學學習是非常有益的，學生能更加深切地感受到“數學是有用的”。這種感受必將促進、提升他們的數學學習熱情、學習積極性。在高中階段經歷一次完整的數學建模過程，對每一名高中生來說，都是有益的，不管最后能不能得到滿意的結果。

在新課程、新教材的背景下，數學建模作為高中數學六大核心素養之一，其重要性不言而喻，也期待更多的教師能參與其中，更多的學生能做一點“真問題”，真實地體會到“數學是有用的、有趣的”。