重視數形結合 實現深度學習

于桂紅，于振海

（東港市長山鎮中心小學）

數形結合是一種重要的數學思想方法。數與形是數學中的兩個最古老也是最基本的研究對象，他們在一定條件下可以相互轉化。借助“數”的精準性，可以闡明“形”的某些屬性。如我們給長方形具體的長和寬，給三角形邊長、高，給圓半徑等數據，通過數據的計算來研究這些圖形的特征，即“以數解形”；借助圖形來闡明數與數之間的某種關系，即“以形助數”。

無論是圖形與幾何、數與代數問題的解決，還是統計與概率問題的處理，都需要借助圖形來使數變得更直觀或者借助數來使圖形變得更具體。在計算課的教學中，我們必須要重視數形結合思想的滲透，發展學生的數學思維能力，真正實現深度學習。

一、分析學情，確立數形結合的關鍵點

計算貫穿于小學數學教學的全過程，與學生的數學學習始終相伴，它是每個學生必備的數學技能。當前，很多學生的計算能力明顯下降，尤其是靈活計算的能力不足，這與學生沒有充分理解算理有密切關系。小學生的學習規律一般分為五個階段：激發動機、知識感知、知識理解、知識鞏固、知識應用，其中，“知識理解”是核心。學生真正理解知識的標志，一是能用自己的語言或動作將知識正確地表述出來，并能用例子進行說明；二是當新知識以變式的方式呈現時，仍能掌握其實質；三是了解與其他知識的異同，并能把握知識的上下屬關系。教師應遵循這一學習規律，夯實“知識理解”這一核心環節，提升學生的思維水平和能力，促使深度學習真正發生。

不同地域、不同班級學生已有的知識經驗和心理認知特點都不盡相同，只有進行學情分析，找準學生學習的起點，才能根據學生學習活動的最近發展區，確定教學內容的難點和關鍵點。

北師版《義務教育教科書·數學》三年級上冊第一單元“過河”與前幾節課相比，出現了“小括號”的知識點。課前，可以這樣進行前測。

1.計算：①60-30÷6，②（60-30）÷6，③27÷3+6，④27÷（3+6）。

2.小李要做60 道口算題，已經做了32 道，剩下的要在4 分鐘內完成，平均每分鐘要做多少道？請列綜合算式進行計算。你認為應該先算減法還是先算除法？為什么？

第1題中①和③兩個小題是前幾節課的知識，在筆者所教班級的30名學生中，有24人解答正確率達到了100%，其它6 人這兩道題均做錯了其中一道。第1題中②和④小題有10人全部正確。經調查，是因為有些學生提前預習了。有5人選擇放棄計算，有15人按照以往的經驗先乘除，再加減的順序進行計算。第2題中要求列綜合算式，其中做對的學生只有2人，其他學生基本都寫成了60-32÷4=28÷4=7（分）。

分析前測結果，我們發現，一是學生對于上節課的知識掌握得較好，受上節課知識遷移的影響比較大；二是雖然有三分之一學生做帶小括號的計算題計算沒有問題，但是他們并不能準確無誤地將知識運用于問題的解決；還有一些學生在解決問題的過程中，雖然沒有加小括號，但是都根據解決問題的邏輯關系即算理進行計算，并得出了正確的結果。這說明學生對于為什么要加小括號及小括號的作用是不理解的，由此我們確定了本節課學生學習的難點：體會小括號引入的必要性，理解，并掌握用小括號可改變運算順序這一算理。

二、分析教材，明確數形結合的語言表征方式

教師在閱讀和分析教材時，要能夠讀懂編者對教學內容的具體要求，結合學生的實際情況來確定教學策略。《義務教育數學課程標準（2011 年版）》在計算教學上提出：“應通過解決問題進一步培養學生的數感，增進算法的理解。”學生在解決問題的過程中，要把擺一擺、畫一畫、列表格等直觀表征的方法轉化為恰當、有邏輯性的語言表征方式，這實際上就是將數學思維外顯化。鑒于小學生的年齡特點，他們的思維水平相對較低，思維外顯對他們來說有一定難度。教師在備課的過程中，要先分析教材中要求的計算教學內容，發現具體教學內容所具備的數學特征，然后結合學生已有語言表征的特點，明確數形結合的語言表征方式，最終幫助學生明白算理。只有這樣，才能有的放矢地幫助學生在體驗算理的過程中感悟算法，發展思維。

北師版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“精打細算”的算理就是11.5除以5，用10元除以5等于2元，再把剩下的 1.5 元變成 15 角，15 角除以 5 等于 3角，2 元加3 角就是2.3 元。在分析教材時要明確，這個算理是學生理解豎式計算方法的基礎，要理清用哪種數形結合的語言表征方式可以把這個算理講清楚、講到位。實際教學中，可以讓學生借助真實的人民幣這個具體的“形”，將除法算理的表達過程用語言描述出來。這樣，學生一方面能夠通過真實的情境理解具體數字所代表的含義；另一方面，在說算理和組織語言的過程中，也能夠感悟除法算理，發展數學思維。

同樣，北師版《義務教育教科書·數學》五年級下冊“分數乘法（三）”的算理是乘以，把一個長方形平均分成4 份，其中的3 份涂上顏色表示這個長方形的，再把涂色部分平分成4 份，其中一份就占這個長方形的。教師必須在充分讀懂教材要求的基礎上，讓學生通過畫圖或者折紙，講出算理得出的過程。這一算理，是五六年級學習“分數應用題”這一單元中的“分數乘法”時分數單位轉換的基礎，學生只有理解了這一算理，在以后做分數乘法應用題轉換單位“1”的時候，才不會在心里打一個大大的問號：為什么這樣一乘，單位“1”就變了呢？

三、抓住本質，實現“數”與“形”的有機結合

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》指出，數學教學應“重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際情境中抽象出的數學問題、建構數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”可見，情境只是實現數學知識抽象化的一個直觀支撐，為了情境而情境的教學只會影響實際教學效果。教師只有抓住知識的本質進行恰當地點撥，才能“撓”到學生的“癢處”，實現“數”與“形”的有機結合。

北師版《義務教育教科書·數學》五年級上冊“精打細算”一課中，當我們把數學問題拋給學生的時候，他們一定會用很多方法解決，這時教師就需要到學生中巡視，把不同的方法展示到黑板上。實際上，用算理來解決問題的學生并不多，多數學生經過多年的訓練，一定會用豎式去做，但做法有對有錯。這樣一來，教師就要把多種有價值的做法都展示到黑板上。學生匯報的時候，要有選擇地安排學生進行匯報，先安排用算理的學生做匯報，然后安排用豎式算錯的學生匯報，最后安排用豎式算對的學生匯報。在匯報的過程中，教師一定要鼓勵學生不懂就問，有的學生能問到關鍵點，問不到也沒有關系。我們要抓住四個關鍵問題：整數部分算完余下的1 表示什么？小數部分余下的5 表示什么？明明余下了1.5元，豎式里為什么寫15，而不寫小數點呢？“商”為什么寫小數點呢？其中后面的兩個問題直接抓住了知識的本質，指向算理。這樣一來，通過幾個問題，引領學生完成了數形結合，提升了思維品質的深刻性和靈活性。

此外，二年級上冊“有多少點子”一課的教學目標是通過計算點子的數量進一步體會加法和乘法之間的聯系，其知識的本質就是對乘法意義的理解并靈活運用。乘法的意義是求幾個相同加數和的簡便運算。在引導學生處理“問題串”的時候，學生擺出了7 行4 列或者是4 行7 列。無論怎樣擺，都是4 個7相加或7個4相加。這時，教師應相機板書：

7+7+7+7=28 4個7 4×7 或 7×4

4+4+4+4+4+4+4=28 7個4 4×7 或 7×4

讓學生觀察板書并提問：“你發現了什么？”這里面的信息量很大，學生會發現，無論是4 個7 相加還是7個4相加都可以用兩個相同的算式表示。這時，需要教師點撥：“看第一行，在這里，4 個 7 中，7 表示加法算式中的什么？4 表示什么？算式4×7 中7 表示什么？4表示什么？”這樣的點撥，緊緊圍繞乘法意義這一本質進行教學，使學生明白了4×7 在不同情況下表示不同的意義。意義不同，都可以用相同的算式表示。

四、去情境化，實現數形結合的抽象建模

學生學習數學需要一個先“內化”再“泛化”的過程，要通過大量的例舉，在觀察、比較、分析、抽象、概況的數學活動中，將數學知識從具體情境中抽象出來，由現實情境走向數學，實現對現實情境的超越，建立數學模型；再反過來，將自主建構的知識運用于新的情境，解決新的問題。

北師版《義務教育教科書·數學》四年級上冊“乘法分配律”這一知識點，就要經歷以下建模過程。

首先，發現問題。教材呈現了如下“貼瓷磚”的情境圖，并要求結合圖與同伴說說等式3×6+4×3=（6+4）×3 為什么成立。學生通過兩種不同的算法得出：

3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8

學生對規律的觀察、理解、分析必須要有一個量的積累，才會實現質的飛躍。教材只提供這一個情境，教師如果在這里急著總結乘法分配律的規律顯然為時過早。因此，可以再提供一個情境問題拓展學生的感知。

學校要給28 人的合唱隊買服裝。每件上衣46元，每件褲子54元，一共需要多少元？

學生會列出兩個不同的算式，并發現這兩個算式可以用等號連接：46×28+54×28=（46+54）×28。在前面兩個情境的基礎上，教師還可以引導學生觀察等號兩邊的算式，并提問它們有什么特點？

其次，驗證規律。要求舉例驗證符合上面規律的算式就一定相等。

再次，歸納規律。讓學生自己總結和歸納上面得出的規律。

最后，運用規律。這時，可以出示拓展類的題型，學生在運用規律的同時，學會舉一返三，真正達到對規律的理解。

建構主義認為，知識并不是簡單地由教師或其他人傳授給學生，只能由每個學生依據自身已有的知識經驗，主動地加以建構，最終形成屬于他們自己的數學知識體系。因此，教師必須引導學生從復雜的現象中抽象出它們最本質的數學模型，實現從方法到模型，從模型到應用的轉變。

總之，數學是抽象和形象相結合、嚴謹和直觀相統一的課程，在小學、中學乃至高中的整個數學知識體系中，數形結合思想方法始終貫穿其中，它不僅是一種思想方法，更是我們進一步學習、解決、探索和研究數學問題必備的能力。鑒于數形結合的重要性及其意義，教師一定要重視并善于在課堂上進行數形結合思想的滲透，最終實現學生的深度學習。