小圓心角小圓弧半徑精確測量方案研究

陸雨薇，秦世林，蹇松陽，劉江東，尹利釗

（1.廣西科技大學 廣西土方機械協同創新中心，廣西 柳州 545006；2.上汽通用五菱股份有限公司 廣西新能源汽車實驗室，廣西 柳州 545007）

0 引言

隨著汽車走進千家萬戶，消費者對汽車造型細節上提出了更高要求。近年來，汽車覆蓋件間隙面差細節逐漸成為表達汽車造型美觀的重要評價指標[1]，如大眾CC、奧迪A3、小鵬P7 等，上述幾款車型均以汽車覆蓋件間隙美觀優勢贏得了良好的口碑和不菲銷量。間隙面差廣泛存在于汽車“四門兩蓋”間，其輪廓尺寸一致性嚴重影響人們對汽車外觀精致美觀的評價[2]。

傳統汽車間隙面差測量是人工塞尺測量，測量精度低，穩定性差，其精度嚴重影響車身覆蓋件沖壓裝配工藝水平，致使出現車身覆蓋件間間隙分布不均勻、“老鼠洞”、風噪等現象[3]，嚴重影響汽車表觀質量，以及駕駛安全性以及乘坐舒適性，最終影響消費者對汽車的購買欲望[4]。使用機器視覺測量是完美的替代方案，可有效改善上述問題，但需要先準確找到間隙兩端小圓心角小圓弧上的特征點位置信息才能進行間隙面差的測量。

由于汽車“四門兩蓋”間隙中小圓弧的半徑一般為1～ 2 mm，輪廓所對應的圓心角小于60°，經機器視覺相機采集到的圓弧部分數據較少。在通常情況下，圓弧半徑越小，可用信息點越少，圓弧測量難度越大，擬合誤差值越大，準確度越低[5]。對于圓心角較小的同一組數據，采用不同的擬合方法得到的結果可能會相差較大，甚至采用相同的方法去測量，得到的重復性精度也難以得到保證，無法判斷哪個結果是準確可靠的[6]。

目前，針對小圓心角小圓弧的測量，相關研究較少。羅智孫等[7]提出一種基于三次指數平滑的方法，根據小圓弧點云輪廓趨勢分別向圓弧輪廓兩端預測部分點云擴大點云圓弧輪廓所對圓心角，以增多可用信息點數目，理論上提高了圓弧測量的精度，但是其在保證測量精度的情況下僅能增大5°圓心角，增加可用信息點數目效果甚微，并且預測點相對于真實點來說誤差較大；Guevara 等[8]提出一種基于平均絕對誤差的魯棒幾何擬合方法，該方法利用一種基于左右偏導數的算法替換傳統算法改善傳統算法目標函數不可微的問題，結合基于梯度或二階導數的快速迭代算法，進行非線性規劃識別并去除零件圓弧輪廓上的異常值，進而提高測量精度；朱嘉等[9]提出一種基于圓心約束的最小二乘法，根據模夾具定位圓心坐標位置，再約束圓心位置擬合得到圓弧半徑，理論上提高了小圓弧的測量精度，但該方法已知圓心位置不適用于汽車生產制造過程中的小圓心角小圓弧的測量。同樣，還有極少數使用較為昂貴的高精度相機進行檢測，但相機全靠進口，價格昂貴且技術封鎖嚴重，不可廣泛推廣，僅適用于小批量檢測。

因此，在工程應用上需要一款成本低、效率高、精度高、可廣泛推廣的，擁有自主知識產權的測量小圓心角小圓弧的設備。本研究以此為切入點，使用低成本線結構光相機進行算法二次開發，通過增加圓弧輪廓可用信息點數量開展研究。

1 小圓心角小圓弧精確測量方案設計

由于汽車“四門兩蓋”間隙中小圓弧的半徑較小（通常為1 mm～ 2 mm），圓弧輪廓較少，且車身鈑金件沖壓精度不高，難以通過實物實測（由于零件較小，間隙縫太小，高精度三坐標機測頭無法進入縫隙測量）的方式開展實驗驗證[10]。對此采用加工精度為0.05 mm 的圓弧類標準件（圖1）模擬“四門兩蓋”間隙中小圓弧，取其中理論半徑分別為1 mm，2 mm，5 mm的圓弧進行點云數據采集并控制圓弧所對圓心角為30°、45°、60°、90°，進而驗證本研究提出的測量方案的有效性，其中5 mm 組、90°組為對照組。

圖1 標準件實物

首先，數據采集并提取圓弧輪廓，通過限制拍攝角度范圍，變換線結構光相機拍攝位姿對標準件圓弧處進行多次拍攝，盡可能采集圓弧輪廓數據，提取出圓弧輪廓數據；然后，進行點云粗配準，通過將多組不同角度拍攝提取得到的小圓心角小圓弧點云進行配準，增加小圓心角小圓弧的點云密度以增多其可用信息點數量；再結合本研究提出的拉普拉斯深度平滑，將點云進行平滑處理，得到較光滑的圓弧輪廓點云；最后，利用最小二乘法進行擬合得到小圓心角小圓弧的半徑。

1.1 數據采集并提取圓弧輪廓

通過限制拍攝角度范圍，使用線結構光相機變換位姿多次拍攝標準件圓弧位置，如圖2 所示。此時拍攝角度應控制在±20°左右，以此來得到更加優質的點云數據。此時的點云輪廓曲線為一段直線與一段圓弧的結合體，然后進行圓弧輪廓提取。由于直線與圓弧部分曲率相差較大，所以可以通過曲率篩選來提取圓弧。本研究通過Zhang 等[11]提出的3 點擬合曲線再求解曲率，設置閾值剔除直線部分點云，最終得到圓弧輪廓。

圖2 數據采集

通過變換相機位姿拍攝，最終提取得到的相對于整個輪廓ab位置的圓弧輪廓曲線cd、ef，詳見圖3 所示。

圖3 圓弧輪廓提取

1.2 小圓心角小圓弧點云輪廓粗配準算法選擇

點云配準，即通過求解不同坐標系下點云之間的平移矩陣T與旋轉矩陣R，將源點云{Ps}變換到目標點云{Qt}坐標系下。常用的點云配準方法有ICP 算法（找到源點云與目標點云中距離最近的點對，根據估計的變換關系來計算距離最近點對經過變換之后的誤差，通過不斷的迭代直至誤差小于某一閾值或者達到迭代次數來確定最終的變換關系，進而使兩點云輪廓大體位置對齊）、PFH 算法（通過使用多維直方圖來泛化點周圍的平均曲率進而編碼點的k 鄰域幾何特征，進而依據幾何特征進行配準）、4PCS 點云配準算法（根據剛性變換后交點所占線段比例不變以及點之間的歐幾里得距離不變的特性，在目標點云中盡可能尋找全等四點集，并利用最小二乘法計算得到變換矩陣，根據最大公共點集得到最優變換，進而完成配準）等[12]。

由于點云有波動，從間隙兩端輪廓點云中提取出的小圓弧不一定是從圓弧與直線相切點開始的，并且每段小圓弧可用信息較少，導致小圓弧的配準沒有具體特征點。所以，對于小圓心角小圓弧的配準僅需進行粗配準，將每段小圓弧大體位置對齊即可，正好適用于ICP 算法，其精度高，不需要提取特征點[13]。方法原理如下：

首先，對源點云{Ps}中的每一點pi（i?1，2，…，N），利用kd 樹最近鄰查找算法尋找其在目標點云中的最近點qi（i?1，2，…，N），組成一一對應的點對，再計算兩組點云的質心，分別記為up，uq，其計算式為：

然后，對兩組點云進行去質心，得到：

接著，構建矩陣H，并對矩陣進行SVD分解，即可求得旋轉矩陣R與平移矩陣T。

在得到旋轉矩陣R，與平移矩陣T后，將待配準的點云轉換到新的點集{Uf}，設置源點云與目標點云歐氏距離平方和閾值，并代入目標函數：

若新變換的點集{Uf}與目標點集{Qt}之間的歐氏距離平方和小于閾值，則停止迭代計算，否則新的變換點集{pi}繼續迭代，直到滿足閾值條件。最終，配準后的小圓心角小圓弧點云如圖4 所示。

由圖4 可知，配準前的小圓心角小圓弧點云有波動，較為稀疏，可用信息點較少，并且由于相機在采點時反射等原因致使部分點缺失；反觀配準后的小圓心角小圓弧，點云雖有波動，但點云更加密集，可用信息點更多。

圖4 小圓心角小圓弧點云配準前后

1.3 基于拉普拉斯深度平滑的算法設計

由于采集的數據常受到樣本表面精度、光照、拍攝抖動等的影響，單組點云數據的波動不可避免。同樣經過如1.2 節所示ICP 算法的處理，待測點云集的缺失和數據量雖然得到了補充，但經過配準后的數據集并未完全重合，且波動依然存在。波動的點云會大幅影響檢測水平，于是點云平滑處理應運而生，通過平滑處理去除離群噪點，降低點云的波動程度，達到檢測精度要求。

現如今最常用的平滑處理算法主要有移動最小二乘法平滑、基于結構特征的平滑、濾波平滑等三類[14]。移動最小二乘法平滑是一種通過建立擬合函數、確定權值來進行處理的算法，通常適用于結構簡單，函數明確的曲線[15]；基于結構特征的平滑也稱為均值平滑或拉普拉斯平滑，是最簡單的一種平滑處理方法，通常認為某點局部領域中點是其理想位置，并將鄰域點移動到中點的平均位置。因此，該方法可能會破壞點云的拓撲結構，所以此方法處理效果較差[16]。兩步平滑，先將相似法線平均在一起，進行法線的平滑，再移動頂點位置到適合新法線的位置，同樣可能會破壞模型的拓撲結構。經過本研究配準后的小圓心角小圓弧點云波動大，排列情況復雜，且點云信息缺失嚴重，所以不適用于上述方法。

針對上述算法缺點和上述數據集特點，將傳統拉普拉斯平滑算法與兩步平滑算法結合，提出一種拉普拉斯深度平滑算法，在點云模型中添加邊緣約束，并使用權重優化點的重定位拉伸，改善了傳統拉普拉斯平滑算法與兩步平滑算法破壞模型拓撲結構的問題。算法流程如圖5 所示，算法的步驟如下：

圖5 拉普拉斯深度平滑算法流程

（1）U（a，σ）、Ω

（2）以a為對稱中心，求Ωa～a+σ/2～a、的對稱點集Ωf、Ωe，令Ω＝Ω∪Ωf∪Ωe

（3）法向量求取

（a）遍歷?Di?Ω，得Ui

（b）求Ui的V、D，得ni

（4）平滑處理

其中Ω 為點云全集，a為起末點，σ為鄰域范圍，Ωf、Ωe分別為邊緣添加點集，V、D分別為特征值與特征向量，Ωcf為單個鄰域點集，Wcf為單個鄰域內點的權值為法向量，di為點的移動距離，其中：U（a，σ）＝。

經過上述拉普拉斯深度平滑處理后，配準后的小圓心角小圓弧點云相對整個圓弧來看較為光滑。并且，由于在平滑時加入了單位權值，約束了各點的平滑方向以及點的重定位移動距離，即使在端點處的點云也不會受鄰域點的影響，破壞原始點云的拓撲結構，平滑處理效果較好。經拉普拉斯深度平滑處理前后點云示意如圖6 所示。

圖6 拉普拉斯深度平滑處理前后點云

2 實驗與分析

本研究通過小圓心角小圓弧半徑擬合的平均相對誤差來評價本方案算法的有效性，即用小圓心角小圓弧擬合半徑ri與標準件圓弧半徑r的誤差值Δr相對于標準件圓弧半徑r的比值絕對值的百分比的平均值。

其中，λ 表示小圓心角小圓弧半徑擬合的平均相對誤差，n表示擬合實驗次數，r表示標準件圓弧半徑，即基準值；ri表示第i次小圓心角小圓弧點云擬合半徑，即實際值。

本研究采用控制實驗流程變量進行對比實驗分析，實驗方案如表1 所示。分別取圓弧輪廓所對圓心角度數分別為30°、45°、60°、90°，標準件半徑分別為1 mm，2 mm，5 mm 的圓弧數據分別進行10 次實驗驗證。其中各方案所對各圓心角的半徑擬合平均相對誤差如圖7 所示。經本方案處理后各圓心角度數圓弧半徑擬合相對誤差如圖8 所示。

圖7 各方案平均誤差分析

表1 控制實驗流程變量對比實驗方案表

對比方案2 與方案1 可知，當小圓弧所對圓心角度數為30°～ 60°時，未經任何處理的小圓心角小圓弧點云半徑平均相對誤差比經拉普拉斯深度平滑處理的小圓心角小圓弧半徑擬合平均相對誤差低13.3%。原因在于此時的小圓弧點云數量較少，拉普拉斯深度平滑在處理這類點云時會誤把小圓弧點云認為直線點云，而進行過度的點的重定位拉伸，致使小圓弧擬合數據偏差較大。當小圓弧所對圓心角度數為60°～90°時，經拉普拉斯深度平滑處理的小圓心角小圓弧點云半徑平均相對誤差比未經任何處理的小圓心角小圓弧點云半徑擬合平均相對誤差低2.38%，原因在于小圓弧點云數量增加后，拉普拉斯深度平滑受到點的約束，從而對小圓弧點云進行適量的拉伸，降低了點云的波動，提高了半徑擬合的精度。因此，僅使用拉普拉斯深度平滑提高圓弧點云半徑擬合精度，在圓心角度數較大（大于60°）時，即可用信息點數量較多時，效果較好。

對比方案3 與方案1 可知，當小圓弧所對圓心角度數為30～ 60°時，經ICP 點云配準的方案3 中小圓心角小圓弧的半徑擬合相對誤差比未經任何處理的方案1 中小圓心角小圓弧的半徑平均相對誤差低5.63%。原因在于，ICP 點云配準增加了可用信息點數量，致使小圓弧點云半徑擬合精度相對提高，但依然處于較高水平。當小圓弧所對圓心角度數為60°～90°時，由于未經任何處理的小圓弧點云相對較光滑，而經ICP 點云配準后的小圓弧波動更加明顯，最終導致半徑平均精度降低3.13%。因此，僅使用ICP 點云配準提高圓弧點云擬合精度適用于可用信息點較少時。

對比方案2 與方案4 可知，當小圓弧點云都經過拉普拉斯深度平滑處理后，加入ICP 點云配準步驟引入了更多的可用信息點，同時與拉普拉斯深度平滑共同作用提高了小圓弧擬合的精度，半徑平均相對誤差降低了25.37%。因此，ICP 點云配準步驟對本方案十分重要。

對比方案3 與方案4 可知，經ICP 點云配準后，圓弧上點云數量增多，但圓弧點云的波動增大，加入拉普拉斯深度平滑步驟降低了圓弧上點云的波動，可明顯提高小圓心角小圓弧半徑擬合精度，半徑平均相對誤差降低了13.24%。因此，拉普拉斯深度平滑步驟對本方案十分重要。

由圖8 可知，經本方案處理前后各圓心角度數圓弧半徑擬合相對誤差提升較大，效果較好。其中，30°圓弧半徑擬合平均相對誤差降低了32.41%；45°圓弧半徑擬合平均相對誤差降低了22.35%；60°圓弧半徑擬合平均相對誤差降低了6.78%；90°圓弧半徑擬合平均相對誤差降低了0.72%。

圖8 處理后各圓心角度數所對半徑平均相對誤差

綜上所述，本設計的小圓心角小圓弧精確測量方案無論在圓心角度數較低時，或者圓心角度數相對較高時，均可提高圓弧半徑擬合精度。其改善了小圓弧所對圓心角度數為30°～ 60°時，可用信息點數量不夠引起的拉普拉斯深度平滑過度拉伸的問題；同時，也改善了當小圓弧所對圓心角度數大于60°時，點云配準帶來的較大的點云波動的問題。綜合應用上述步驟，小圓心角小圓弧的絕對精度可控制在0.06 mm，效果良好，滿足了小圓心角小圓弧測量要求。

3 結語

針對汽車覆蓋件中“四門兩蓋”的小圓心角小圓弧的精確測量提出了一套小圓心角小圓弧精測量方案，適用于圓心角度數為30°～ 60°的圓弧進行半徑測量。通過多角度數據采集提取圓弧輪廓，利用ICP 配準算法將各角度拍攝提取的小圓心角小圓弧點云進行配準，提高點云密度，增加可用信息點數目，最后通過本研究提出的一種拉普拉斯深度平滑算法減少配準后點云的波動，并使用最小二乘法擬合圓弧。經實驗對比發現，本研究所提出的小圓心角小圓弧精確測量方案有效提高了擬合精度，絕對精度可控制在0.06 mm，滿足小圓心角小圓弧測量要求。

針對工程應用上，其工程實際應用價值較高，實用性較強，通過準確擬合圓弧找到汽車間隙面差測量所需的關鍵點，輔助間隙面差以及其他零部件圓度、同軸度的測量等等。

由于本研究所提出的方案目前僅用于標準件模擬汽車“四門兩蓋”小圓心角小圓弧進行測量，在下一步的研究工作中，筆者將針對汽車實車測量過程中的復雜情況進行改進。