學程重構：指向數學高階思維發展的有效路徑

■張衛明

一、問題提出

數學是思維的體操。丘成桐教授指出，數學學習就是思維學習。史寧中教授認為，數學教學的核心是培養思維能力，特別是高階思維，以達到讓學生學會用數學的思維思考、表達世界的目的。當前數學教育中，大部分學生被動學習，思考問題拘囿于定向、正向等單一思維方式，拘囿于解決常規數學問題，卻不善于解決復雜的、開放的問題，缺乏深度探究能力，思維層次多數處于低層次或中等層次。

在“雙減”背景下，如何“減負增效”，實施因材施教，讓課堂教學轉化為學生自主學習、自我建構、自我發展的時空領域，發展學生在數學活動中有意識的、圍繞特定目標不懈努力的思考力及不斷應對現實世界變化的問題解決和決策創新能力，培育學生的核心素養，落實立德樹人的根本任務，是初中教師亟需解決的問題。

二、內涵確認

通過系統研究，梳理國內外高階思維等相關文獻，一些學者提出，教學目標分類中的分析、評價和創造就是高階思維（如圖1）。也有學者在很早就提出，高階思維包括批判性思維、問題解決、決策、創造性思維四種關鍵能力。提升高階思維能力需要教師在數學教學中尋找有效教學途徑、方法和措施，使學生在教師、同伴、教學資源等相互影響、相互促進下，獲得能力與素養，形成科學態度與數學精神。

圖1

數學學習在目標引領下通過分析、評價、創造等一系列高階思維活動展開，必須基于學情進行學程設計，對數學學習重新架構，對數學資源重新組合。顯然，學生的數學學習活動必然要經歷一個“建構→解構→再重新建構”的過程，這就是“重構”。此過程中，“重構”起到起承轉合的獨特作用，也是凸顯較高認知水平層次的高階思維的有力保障。

三、研究內容

1.以“問”為先，研發數學高階思維知識深度等級。

數學高階思維能力一般包括：問題解決、推理、表達、構思等能力。而問題解決能力是高階思維的核心能力。以“問”為先的學程重構，就是教學中以主問題（核心問題）為主線，貫穿課堂的始終，激活課堂。數學學習過程本質上是一個學習思維發展的過程，而思維發展總是伴隨著一個個活動逐步展開的。任何新知的習得都必然依賴某些相關活動經驗方法和策略。在變化了的新問題情境中，讓學生自主、獨立地尋求問題解決的路徑，并運用已有的知識經驗創造性地完成探索數學知識的過程，可以發展數學抽象、推理、建模的思想，從而促進高階思維的發展。

美國教育學家韋伯博士提出了培養學生高階思維的DOK教學系統，巧妙解決了教材中的知識深度等級劃分問題：DOK1為“記憶與再認”；DOK2為“概念與基本技能”；DOK3為“策略化與較復雜思維過程”；DOK4為“涉及知識的延展性與更加復雜的思維過程”。

“知識深度等級”的劃分是發展高階思維的一大創新，它為“分析、評價和創造”等高級思維活動的發展提供了目標引領。

例如，圓的概念“知識深度等級”劃分。

DOK1，記憶與再認。

描述：能理解圓的相關基本概念。

示例1：已知⊙O的半徑OA長為1，OB=2，則正確的圖形可能是（ ）。

解析：本題選B。

DOK2，概念與基本技能。

描述：通過圓的概念解決與圓有關的位置問題。

示例2：已知⊙O的半徑為m，點P在⊙O內，則OP的長（ ）。

A.小于mB.大于m

C.等于mD.等于m

解析：本題選A。

示例3：已知⊙O的面積為25π，若點P在圓上，則PO=（ ）。

A.25 B.5 C.7 D.3

解析：本題選B。

DOK3，策略化與較復雜思維過程。

描述：利用圓的軌跡形式的概念解決圖形的軌跡問題。

示例4：如圖2，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，求證：A、B、C、D四個點在同一個圓上。

圖2

解析：如圖3，連接BD，取BD的中點O，連接

圖3

OA、OC。∵∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，∴OA=OB=OD=OC，∴A、B、C、D四個點在同一個圓上。

DOK4，涉及知識的延展性與更加復雜的思維過程。

描述：利用圓的概念解決有關圓的綜合性問題。

示例5：如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，點D是半徑為4的⊙A上的一個動點，點M是CD的中點，則BM的最大值是

圖4

解析：取AC的中點N，連接MN、BN，利用直角三角形斜邊中線的性質和三角形的中位線定理，可求出BN、MN，再利用三角形的三邊關系即可解決問題。

2.以“學”為本，重構發展數學高階思維的學程體系。

學習的過程中，通過參與、對話、分享等方式，學生主體地位凸顯，思維層次更加清晰，教學更指向最近發展區和深度學習。可以說，“學程”重構更加促進學生的自我建構和共同建構，讓學生有支架、有路徑地學，促進高階思維的發展。數學高階思維的學程體系包括：知識深度等級劃分、結構化單元整體課堂教學構建、學習資源開發、科學評價等。

學程重構體現重塑原有觀念、重組認知結構、重建概念關系、重新矯正思維，不僅體現實踐活動的開放性、問題材料的豐富性，更體現思維發展的靈活性、批判性及元認知能力等方面。教師必須面對新時代的挑戰，改變原有的授課方式，致力于整體建構知識體系，向知識深度進軍，向高階思維發展。

初中數學知識涉及4個領域：數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐。蘇科版教材“數與代數”部分共15章（包括“銳角三角函數”），“圖形與幾何”部分共11章，“統計與概率”部分共5章。依此，我們對初中數學知識體系進行了重新建構（如圖5、圖6、圖7）。

圖5 初中“數與代數”知識體系結構圖

圖6 初中“圖形與幾何”知識體系結構圖

圖7 初中“統計與概率”知識體系結構圖

由于數學知識之間有縱向、橫向結構關聯或縱橫融通，教學設計要體現單元整體結構化的特征，體現思維的靈活性、深刻性、敏捷性、創造性、批判性和結構性，這樣才更加有利于發展高階思維。

3.以“思”為要，探索發展數學高階思維的實施策略。

伴隨著教育改革的大力推進，初中數學教學重點正在發生著根本性變化。在課堂教學中，教師應引導學生進行思維訓練，努力培養學生的數學高階思維；引導學生獨立思考，調動學生學習積極性，促使高階思維在問題解決中形成邏輯性和抽象性。這是數學教學的一項重要使命。

教師可以通過創設情境，引導學生動手“做數學”，推進整體單元教學；給學生提供資源包、工具箱和“腳手架”，培養學生自主探究和實踐的能力，發展高階思維。比如，在“二次函數”的教學過程中，教師可以利用幾何畫板讓學生發現二次項系數、一次項系數、常數項對拋物線圖像的影響。從學生的實際表現來看，一定要留給學生充分的學習時間和空間，讓學生真正經歷知識產生、發展的全過程，為學生提供更多的生成、創新的時機。這樣，學生的思路會越來越廣，對數學知識的認識也會越來越深刻，高階思維的發展才能有保障，創新能力才能不斷提升。

四、結語

數學教學要以學生的學習過程為中心，聚焦于學習建構理論的提煉，構建單元整體教學框架，探討教會學生學會學習、學會思考的路徑，讓學生學會動手做數學，注重操作、探究、發現知識的過程以及用聯系的觀點理解知識，理解教材，理解數學，發展學生的高階思維。教師要把數學學習活動設計作為課堂教學設計的關鍵與核心，針對目標設定、內容選取、方式選擇及活動評價等方面，設計出讓學生積極投入的高階學習活動，使學生在活動中經歷高階思考過程，發展高階思維能力，從而構建“為學生成長而教”的發展高階思維的數學課堂。