抓“結(jié)構(gòu)”，明“內(nèi)涵”，自主建構(gòu)運(yùn)算模型
——蘇教版四下“乘法分配律”教學(xué)實(shí)踐研究

江蘇省南京市溧水區(qū)洪藍(lán)中心小學(xué) 曹慧清

乘法分配律是學(xué)生到了中學(xué)學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)和提取公因式這兩大知識(shí)的基礎(chǔ)，它與加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律和乘法結(jié)合律被譽(yù)為“數(shù)學(xué)大廈的基石”，相較于其他四個(gè)運(yùn)算律而言，學(xué)生對(duì)乘法分配律的領(lǐng)悟和融會(huì)貫通顯得尤為困難。它溝通了乘法和加法這兩種運(yùn)算之間的聯(lián)系，同時(shí)含有乘法和加法使算式形式變換更加多樣復(fù)雜，外在形式相似而并非是這一運(yùn)算模型又或者是外在形式不符合模型的“標(biāo)準(zhǔn)形式”但本質(zhì)卻是乘法分配律運(yùn)算模型的算式結(jié)構(gòu)往往有著強(qiáng)烈的干擾作用。另外，雖然學(xué)生之前接觸過(guò)一些有關(guān)乘法分配律的算式，但是那時(shí)的學(xué)生對(duì)于乘法分配律處于無(wú)意識(shí)狀態(tài)，且乘法分配律的形式與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算律模型差異較大，所以其實(shí)學(xué)生對(duì)于乘法分配律的學(xué)習(xí)缺少易同化的認(rèn)知基礎(chǔ)，知識(shí)鏈難以連接，這些都增加了抽象和概括出乘法分配律并應(yīng)用的難度。那么，如何引導(dǎo)學(xué)生探索并發(fā)現(xiàn)概括出乘法分配律？怎樣引導(dǎo)學(xué)生理解乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵并應(yīng)用？如何做才能充分發(fā)揮出運(yùn)算律教學(xué)的潛在價(jià)值？基于上述的思考，展開(kāi)了以下的嘗試。

一、解構(gòu)重組，建構(gòu)模型

1.喚醒經(jīng)驗(yàn)，感知規(guī)律。

《禮記·學(xué)記》中說(shuō)：“故君子之教，喻也。道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開(kāi)而弗達(dá)。”教育家第斯多惠也曾指出：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞。”由于在學(xué)習(xí)乘法分配律之前，學(xué)生已經(jīng)接觸了一些關(guān)于乘法分配律的內(nèi)容，只是當(dāng)時(shí)學(xué)生處于無(wú)意識(shí)狀態(tài)，并沒(méi)有專門地展開(kāi)具體內(nèi)容的教學(xué)。現(xiàn)在，擺在面前的問(wèn)題是：如何利用好學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，貼合學(xué)生的認(rèn)知水平順勢(shì)而教？

對(duì)此，教師在對(duì)執(zhí)教學(xué)生實(shí)際情況調(diào)查的基礎(chǔ)上，再結(jié)合教學(xué)的具體內(nèi)容及其特點(diǎn)，采用了通過(guò)喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，在解構(gòu)重組的基礎(chǔ)上喚醒和促進(jìn)學(xué)生對(duì)規(guī)律感知的教學(xué)方式展開(kāi)教學(xué)。

案例分析：

核心問(wèn)題：要知道籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少米，可以通過(guò)怎樣的方式列出綜合的計(jì)算式？例如，籃球場(chǎng)長(zhǎng)28米，寬15米，那么，籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少米？

教師先不直接給出解答方案，要求學(xué)生自主探索解答的途徑，從學(xué)生解答的反饋結(jié)果來(lái)看，主要呈現(xiàn)出如下的兩類不同的計(jì)算式子：

據(jù)此，教師進(jìn)一步追問(wèn)：兩種不同的算式分別是怎樣想的，每一步對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方形的哪部分？如果這里把長(zhǎng)方形的長(zhǎng)改為30米，寬改為40米，你能列出兩種不同的綜合算式嗎？

學(xué)生在提供解答結(jié)果之后，教師趁熱打鐵，繼續(xù)發(fā)問(wèn)：如果長(zhǎng)變?yōu)?0米，寬變?yōu)?5米呢？你還會(huì)列嗎？在這幾組不同的算式之間你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)什么？（或者此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有所察覺(jué)，從而得出兩種算式之間可以用等號(hào)連接）

即學(xué)生通過(guò)發(fā)現(xiàn)之后，得到：

（28＋15）×2=28×2＋15×2

（30＋40）×2=30×2＋40×2

（50＋75）×2=50×2＋75×2

教師提問(wèn)：誰(shuí)能概括表達(dá)出這些算式？

學(xué)生回答：（長(zhǎng)+寬）×2=長(zhǎng)×2＋寬×2

在此處，教師不停地變換長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的數(shù)值而沒(méi)有急于把“（長(zhǎng)＋寬）×2=長(zhǎng)×2＋寬×2”這一算式引出，其原因在于是想讓學(xué)生明白變中有不變，這兩個(gè)算式相等其實(shí)與具體的數(shù)值是沒(méi)有關(guān)系的，而與其形式結(jié)構(gòu)有關(guān)。導(dǎo)致上述結(jié)果的原因主要在于其中隱含了一種規(guī)律，需要學(xué)生去進(jìn)一步探索、發(fā)掘。

因此，接著針對(duì)這一算式深入發(fā)問(wèn)：誰(shuí)能結(jié)合長(zhǎng)方形的圖形說(shuō)說(shuō)為什么左邊的算式等于右邊的算式？

對(duì)算式相等合理性的解釋說(shuō)明利于學(xué)生后續(xù)對(duì)于模型的理解，另外在乘法分配律的應(yīng)用過(guò)程中，發(fā)生（a+b）×2=a+b×2的錯(cuò)誤并不偶然，恰恰相反，是教學(xué)過(guò)程中學(xué)生經(jīng)常容易犯下的一種具有代表性的錯(cuò)誤。在此處，借助于學(xué)生們所熟知的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式及結(jié)合圖形說(shuō)理的過(guò)程，以先入為主的形象給學(xué)生指出了錯(cuò)誤的原因。如此，便能夠有助于學(xué)生展開(kāi)后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)，提高解題的正確率。

在完成空格填寫之后，要求學(xué)生陳說(shuō)自己每一步是怎么計(jì)算的，并提問(wèn)他們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？得到25×2＋25×10=25×（10＋2）這個(gè)算式和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)算式正好一“正”一“反”，在不刻意中破除了關(guān)于乘法分配律結(jié)構(gòu)上的思維定式，即不只是(a+b)×2=a×2+b×2也可以是a×2+b×2=(a+b)×2，進(jìn)而突破了如何展開(kāi)逆向性思維教學(xué)難點(diǎn)。

杜威在對(duì)教育的定義時(shí)指出：“一切教育都是通過(guò)個(gè)人參與人類的社會(huì)意識(shí)而進(jìn)行的。這個(gè)過(guò)程幾乎是在出生時(shí)就在無(wú)意識(shí)中開(kāi)始了。”據(jù)此結(jié)合筆者的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可以這么認(rèn)為：利用學(xué)生熟悉的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)引入新課，從而使得教學(xué)的展開(kāi)順其自然，而無(wú)需刻意、強(qiáng)制性地給學(xué)生灌輸知識(shí)，從而能夠讓學(xué)生們?cè)谧匀弧⑹煜ぁ⒑椭C的學(xué)習(xí)氛圍中展開(kāi)學(xué)習(xí)，樂(lè)于學(xué)習(xí)與接納新的數(shù)學(xué)知識(shí)，從而能獲得真實(shí)有效的學(xué)習(xí)技能和學(xué)習(xí)體驗(yàn)。

2.舉例觀察，抽象模型。

關(guān)于運(yùn)算律的教學(xué)價(jià)值，其實(shí)從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，通過(guò)部分個(gè)例獲得一個(gè)發(fā)現(xiàn)，然后抽象出一般的數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，我們可以幫助學(xué)生了解知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)生發(fā)展的過(guò)程，感知到可以從偶然的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)必然的規(guī)律，學(xué)生一旦有了這樣的意識(shí)和獲得了發(fā)現(xiàn)的方法，也就會(huì)有創(chuàng)造和創(chuàng)新的可能。

仍舊以前文的案例展開(kāi)分析。向?qū)W生提問(wèn)：基于以上規(guī)律的感知發(fā)現(xiàn)，你們會(huì)發(fā)現(xiàn)，上面這幾組式子都有一個(gè)非常明顯的相同之處，那么這到底是因?yàn)闇惽沙霈F(xiàn)的還是包含著共同的規(guī)律呢？如果左邊的式子是“（3＋2）×5”，那么右邊可以怎樣寫呢？如果可以寫出來(lái)，右邊的式子你又是根據(jù)規(guī)律什么寫出來(lái)的？左右兩個(gè)式子通過(guò)驗(yàn)證是否一定相等？

學(xué)生通過(guò)口算的方式驗(yàn)證組成的等式。教師繼續(xù)驗(yàn)證：再寫幾組類似的算式，通過(guò)驗(yàn)證等式一定是成立的嗎?并要求學(xué)生以小組的形式展開(kāi)交流，即用學(xué)生喜歡的方法將這個(gè)規(guī)律告訴小組成員。通過(guò)學(xué)生們的熱烈討論，教師再進(jìn)一步地揭題如下，即這其中的規(guī)律正是乘法分配律。此運(yùn)算規(guī)律可以從左往右看，也可以從右往左看，其意義是等同的。

至此，學(xué)生們通過(guò)自己的思考、探討的教學(xué)過(guò)程，同時(shí)也是經(jīng)歷了一個(gè)建構(gòu)運(yùn)算律數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，顯然，這一教學(xué)過(guò)程是有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的。同時(shí)，對(duì)于學(xué)生特別要強(qiáng)調(diào)的是，我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中，要給足學(xué)生探索的空間，讓學(xué)生得以利用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在探索和交流中，把感性認(rèn)識(shí)發(fā)展為理性認(rèn)知，合理建構(gòu)知識(shí)框架。

3.說(shuō)理辨意，凸顯本質(zhì)。

以上教學(xué)過(guò)程大體都是讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算解答后發(fā)現(xiàn)左右兩個(gè)算式的結(jié)果相等，用算式解答的一致性來(lái)獲得乘法分配律左右兩部分的一致性。這樣的話，學(xué)生更多關(guān)注的是乘法分配律的外在形式而不是它的本質(zhì)內(nèi)涵，也就是“幾個(gè)幾加幾個(gè)幾等于幾個(gè)幾”。那么接下來(lái)，教學(xué)重點(diǎn)就要放在理解意義促提升上，讓學(xué)生對(duì)乘法分配律的認(rèn)知更深刻，對(duì)乘法分配律的內(nèi)在機(jī)理更清楚。

出示教材例題。在學(xué)生列出左右相等的算式后，追問(wèn)：你能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)說(shuō)為什么左右兩邊相等嗎？

這里沒(méi)有利用例題引入新課而是把例題放在了說(shuō)理辨析這部分，是想讓學(xué)生在結(jié)合具體情境時(shí)能將乘法分配律的內(nèi)涵說(shuō)清楚說(shuō)明白，更想讓學(xué)生利用這道例題理解乘法分配律的本質(zhì)。

二、多元表征，深化認(rèn)知

1.豐富情境，深化認(rèn)知。

接著在例題的基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生提出編題的要求，給學(xué)生算式1：（5+7）×4和算式2：5×4+7×4，根據(jù)算式編一道實(shí)際問(wèn)題。乘法分配律的建構(gòu)需要基于豐富的素材，而這樣的素材不僅可以由老師提供，學(xué)生自己也能創(chuàng)生出來(lái)，在把乘法分配律還原到學(xué)生自己熟悉的情境的過(guò)程中，他們就建立了乘法分配律的結(jié)構(gòu)認(rèn)知和意義認(rèn)知，從而在理解本質(zhì)的基礎(chǔ)上建構(gòu)了乘法分配律的模型。

2.數(shù)形結(jié)合，直觀感知。

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。”數(shù)形結(jié)合可以使得復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，抽象的問(wèn)題變得具體清晰，實(shí)現(xiàn)解題途徑得以優(yōu)化的目的。這里利用形象直觀的圖形可以幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟乘法分配律的意義。從深層次理解數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，透徹而深刻的理解乘法分配律的內(nèi)涵。

借助幾何直觀圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想有效幫助學(xué)生理解運(yùn)算公式，加深對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解。教學(xué)中引入學(xué)生生活中熟悉的幾何圖形，為學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律架構(gòu)起了方便的橋梁，使數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中發(fā)揮真正效用，一方面拉近學(xué)習(xí)與現(xiàn)實(shí)的距離，一方面讓學(xué)生掌握知識(shí)的內(nèi)涵。因此，將幾何直觀引入乘法分配律教學(xué)過(guò)程中，可以使學(xué)生對(duì)乘法分配律的數(shù)學(xué)模型形成深刻認(rèn)知。

首先通過(guò)課件向?qū)W生呈現(xiàn)教材主題圖，根據(jù)學(xué)生熟悉的生活情境提出問(wèn)題：小明家裝修，要給衛(wèi)生間貼瓷磚，左邊墻壁需要貼6排瓷磚，每排貼5塊，右邊墻壁需要貼4排瓷磚，每排貼5塊，貼完衛(wèi)生間需要多少塊瓷磚？

在讓學(xué)生解決問(wèn)題之前，先引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，再列算式計(jì)算。預(yù)設(shè)學(xué)生有兩種解答方式：第一種：（6+4）X5=50（塊）；第二種：6X5+4X5=50（塊）。

師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察課件出示的圖形，（如下圖所示），然后在小組討論兩組算式為何相等。

生：因?yàn)榈忍?hào)左邊的小正方形個(gè)數(shù)是10個(gè)5相加，也就是50個(gè)，右邊的小正方形個(gè)數(shù)是6個(gè)5和4個(gè)5相加，按照先乘后加的運(yùn)算順序，算出的結(jié)果也是50個(gè)，所以兩組算式結(jié)果相等。

在理解圖形含義的過(guò)程中，學(xué)生還會(huì)回顧起長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，不難看出，圖形的引入有助于學(xué)生理解算理。同時(shí)學(xué)生在回答解決問(wèn)題的過(guò)程時(shí)，還應(yīng)要求學(xué)生使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法分配律的提煉和總結(jié)。所以，教師在開(kāi)展課堂教學(xué)時(shí)，既要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)乘法的意義，同時(shí)還要借助數(shù)形結(jié)合思想，為學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)提供豐富的表象素材，感受數(shù)與形的完美融合，進(jìn)而理解知識(shí)的本質(zhì)，為構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)模型奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

對(duì)同一個(gè)概念從不同的角度切入去進(jìn)行表征和建構(gòu)，既能加深對(duì)該概念的領(lǐng)悟，同時(shí)又能增強(qiáng)將這一概念遷移至其他領(lǐng)域的能力。在多元表征乘法分配律的過(guò)程中，不僅提升了學(xué)生對(duì)于這一運(yùn)算律的認(rèn)知，也增強(qiáng)了之后使用乘法運(yùn)算律的能力。

三、分層練習(xí)，活用模型

練習(xí)需要體現(xiàn)層次性和遞進(jìn)性，首先安排了符合乘法分配律基本模型的算式供學(xué)生填寫，鞏固對(duì)乘法分配律形式上的掌握；然后出示幾組對(duì)比練習(xí)，需要根據(jù)意義靈活應(yīng)用乘法分配律；最后拓展練習(xí)，提升對(duì)乘法分配律應(yīng)用能力。

1.基本練習(xí)，形成技能。

填空：在□里填上合適的數(shù)，○里填上運(yùn)算符號(hào)。

這幾組基礎(chǔ)填空題，幫助學(xué)生鞏固對(duì)乘法分配律形式上的掌握，難度也是逐題遞增的，在不變換形式的基礎(chǔ)上，對(duì)里面的數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整，不斷鞏固學(xué)生對(duì)乘法分配律基本形式的掌握。

2.對(duì)比練習(xí)，靈活應(yīng)用。

對(duì)于運(yùn)算模型意義上的理解，其重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝于對(duì)運(yùn)算模型形式上的模仿，面對(duì)靈活多變的變式題，學(xué)生需要發(fā)現(xiàn)算式的本質(zhì)內(nèi)涵，從而尋找到這些變式與運(yùn)算律之間的聯(lián)系，這里將一些易混易錯(cuò)題組成題組，通過(guò)對(duì)比幫助學(xué)生掌握乘法分配律的本質(zhì)。

3.拓展練習(xí)，提升能力。

拓展題型A：13×7＋17×7＋20×7=

拓展題型B:35×67－25×67=

拓展題型C:9×（18-12）=

在學(xué)生充分理解算理的基礎(chǔ)上，適時(shí)安排了拓展練習(xí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握由淺入深、由表及里，實(shí)現(xiàn)了對(duì)乘法分配律有效的延伸和拓展，學(xué)生對(duì)乘法分配律的理解也由最初的借助圖形形象理解上升為抽象層面的理解，在深入理解和透徹分析的層次上對(duì)乘法分配律進(jìn)行了建構(gòu)和融合。